Hierarchical models in discrete percolation theory and Markov branching processes

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A brief introduction to percolation theory is given. Within the framework of the discrete percolation theory on infinite graphs, we develop a method for approximating the percolation probability based on the construction of a sequence of infinite graphs of a special type called the hierarchical graphs. The calculation of the percolation probability for graphs of this type is reduced to the analysis of a suitable Markov branching process with discrete time.

About the authors

Yurii P. Virchenko

V. G. Shukhov Belgorod State Technological University

Author for correspondence.
Email: virch@bsu.edu.ru
Russian Federation, Belgorod

Dmitrii A. Cherkashin

V. G. Shukhov Belgorod State Technological University

Email: dmt.cherkashin@gmail.com
Russian Federation, Belgorod

References

  1. Антонова Е. С., Вирченко Ю. П. Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах// Науч. вед. БелГУ. Сер. Физ. Мат. — 2010. — 11 (82), № 20. — С. 28–61.
  2. Вирченко Ю. П. Перколяция// в кн.: Математическая физика. Энциклопедия. — Российская энциклопедия, 1998.
  3. Вирченко Ю. П. Периодический граф// в кн.: Математическая физика. Энциклопедия. — М.: Российская энциклопедия, 1998.
  4. Вирченко Ю. П., Толмачёва Ю. А. Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решётке// Укр. мат. ж. — 2005. — 57, № 10. — С. 1315–1326.
  5. Вирченко Ю. П., Шпилинская О. Л. Точечные случайные поля с марковскими измельчениями и геометрия фрактально неупорядоченных сред// Теор. мат. физ. — 2000. — 124, № 3. — С. 490–505.
  6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
  7. Меньшиков М. В., Молчанов С. А., Сидоренко А. Ф. Теория перколяции и некоторые приложения// в кн.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей, математическая статистика и теоретическая кибернетика. Т. 2. — М.: ВИНИТИ, 1986. — С. 53–110.
  8. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, I// Теор. мат. физ. — 1983. — 55, № 2. — С. 246–256.
  9. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, II// Теор. мат. физ. — 1983. — 55, № 3. — С. 419–430.
  10. Молчанов С. А., Степанов А. К. Просачивание случайных полей, III// Теор. мат. физ. — 1985. — 65, № 3. — С. 371–379.
  11. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. — М.: Наука, 1971.
  12. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. — М.: Наука, 1980.
  13. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. — М.: Эдиториал УРСС, 2002.
  14. Черкашин Д. А., Вирченко Ю. П. Иерархические решеточные модели теории перколяции// в кн.: Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXV (Кондаурова Д. Э., ред.). — Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2024. — С. 364–366.
  15. Antonova E. S., Virchenko Yu. P. Monotonicity of the probability of percolation for Bernoulli random fields on periodic graphs// J. Math. Sci. — 2011. — 175, № 1. — P. 86–90.
  16. Barucha-Reid A. T. Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications. — New York: Mc Grow-Hill, 1960.
  17. Broadbent S. R., Hammersley J. M. Percolation processes, I. Crystals and mazes// Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1957. — 53. — P. 629–641.
  18. Essam J. W. Percolation Theory// Rep. Prog. Phys. — 1986. — 43. — P. 833–912.
  19. Frisch C. M., Hammersley J. M. Percolation processes and related topics// J. SIAM. — 1963. — 11. — P. 894–918.
  20. Grimmett G. Percolation. — New York: Springer-Verlag, 1999.
  21. Hammersley J. M. Percolation processes: lower bounds for the critical probability// Ann. Math. Stat. — 1957. — 28, № 3. — P. 790–795.
  22. Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians. — Boston: Birkhäuser, 1982.
  23. Nummelin E. General Irreducible Markov Chains and Non-negative Operators. — New York: Cambridge Univ. Press, 1984.
  24. Ruelle D. Statistical Mechanics. Rigorous Results. — Benjamin, 1969.
  25. Simon R. The P (φ) 2 Euclidian (Quantum) Field Theory. — Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1974.
  26. Virchenko Yu. P., Shpilinskaya O. L. Spaces of random sets in ℝ d // Lobachevsky Math. J. — 2023. — 44, № 3. — P. 1043–1059.
  27. Virchenko Yu. P., Tolmacheva Yu. A. Method of Sequential Approximative Estimates in Discrete Percolation Theory// in: Studies in Mathematical Physics Research (Benton C. V., ed.). — New York: Nova Science, 2004. — P. 155–175.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Virchenko Y.P., Cherkashin D.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).