Classical solution of a mixed problem with the Dirichlet and Neumann conditions for a nonlinear biwave equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

For a nonlinear biwave equation given in the first quadrant, we consider a mixed problem in which the Cauchy conditions are specified on the spatial half-line, and the Dirichlet and Neumann conditions are specified on the time half-line. The solution is constructed by the method of characteristics in an implicit analytical form as a solution of a certain integro-differential equations. By the method of continuation with respect to a parameter and a priori estimates, the solvability of these equations, the dependence on the initial data, and the smoothness of solutions are examined. For the problem considered, the uniqueness of the solution is proved and the conditions of the existence of classical solution are established. If the matching conditions are not met, then a problem with conjugation conditions is constructed, and if the data is not sufficiently smooth, then a mild solution is constructed.

About the authors

Viktor I. Korzyuk

Belarusian State University; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

Author for correspondence.
Email: korzyuk@bsu.by
Belarus, Minsk; Minsk

Jan V. Rudzko

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus

Email: janycz@yahoo.com
Belarus, Minsk

References

  1. Богатов А. В., Гилев А. В., Пулькина Л. С. Задача с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками// Вестн. росс. ун-тов. Мат. — 2022. — 27, № 139. — С. 214–230.
  2. Гайдук С. И., Кулешов А. А. Об одной смешанной задаче из теории колебаний балок// Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. — 2009. — № 1. — С. 47–51.
  3. Гилев А. В., Кечина О. М., Пулькина Л. С. Характеристическая задача для уравнения четвертого порядка с доминирующей производной// Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. — 2021. — 27, № 3. — С. 14–21.
  4. Корзюк В. И., Винь Н. В. Классические решения смешанных задач для одномерного биволнового уравнения// Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. — 2016. — № 1. — С. 69–79.
  5. Корзюк В. И., Винь Н. В. Решение задачи для нестрого гиперболического уравнения четвертого порядка c двукратными характеристиками// Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. — 2017. — № 1. — С. 38–52.
  6. Корзюк В. И., Конопелько О. А., Чеб Е. С. Граничные задачи для уравнений четвертого порядка гиперболического и составного типов// Совр. мат. Фундам. напр. — 2010. — 36. — С. 87–111.
  7. Корзюк В. И., Козловская И. С., Козлов А. И. Задача Коши для нестрого гиперболического уравнения на полуплоскости с постоянными коэффициентами// Диффер. уравн. — 2015. — 51, №6. — С. 714–725.
  8. Корзюк В. И., Мандрик А. А. Граничные задачи для нестрого гиперболического уравнения третьего порядка// Диффер. уравн. — 2016. — 52, № 2. — С. 209–219.
  9. Корзюк В. И., Мандрик А. А. Первая смешанная задача для нестрого гиперболического уравнения третьего порядка в ограниченной области// Диффер. уравн. — 2016. — 52, № 6. — С. 788–802.
  10. Корзюк В. И., Рудько Я. В. Классическое и слабое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом// Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Мат. — 2023. — 43. — С. 48–63.
  11. Корзюк В. И., Рудько Я. В. Классическое решение второй смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом// Диффер. уравн. — 2023. — 59, № 9. — С. 1222–1239.
  12. Корзюк В. И., Рудько Я. В. Классическое решение первой смешанной задачи в криволинейном квадранте для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом// Диффер. уравн. — 2023. — 59, № 8. — С. 1070–1083.
  13. Корзюк В. И., Рудько Я. В. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом// Диффер. уравн. — 2022. — 58, № 2. — С. 174–184.
  14. Корзюк В. И., Столярчук И. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами// Диффер. уравн. — 2017. — 53, № 1. — С. 77–88.
  15. Корзюк В. И., Чеб Е. С. Смешанные задачи для биволнового уравнения// Вестн. БГУ. Сер. 1. Физ. Мат. Информ. — 2005. — № 1. — С. 63–68.
  16. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Тху Л. Т. Решение первой смешанной задачи для нестрого биволнового уравнения// Докл. НАН Беларуси. — 2011. — 55, № 4. — С. 5–13.
  17. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — Москва: Наука, 1978.
  18. Треногин В. А. Глобальная обратимость нелинейных операторов и метод продолжения по параметру// Докл. РАН. — 1996. — 350, № 4. — С. 455–457.
  19. Buryachenko K. O. Solvability of inhomogeneous boundary-value problems for fourth-order differential equations// Ukr. Math. J. — 2012. — 63, № 8. — P. 1165–1175.
  20. Fushchych W. I., Roman O. V., Zhdanov R. Z. Symmetry reduction and some exact solutions of nonlinear biwave equations// Repts. Math. Phys. — 1996. — 37, № 2. — P. 267–281.
  21. Harrevelt S. D. Eigenvalue Analysis of the Timoshenko Beam Theory with a Damped Boundary Condition. — Delft: Tech. Univ. Delft, 2012.
  22. Kharibegashvili S., Midodashvili B. On one boundary-value problem for a nonlinear equation with the iterated wave operator in the principal part// Georgian Math. J. — 2008. — 15, № 3. — P. 541–554.
  23. Korzyuk V. I., Rudzko J. V. Cauchy Problem for a Semilinear Nonstrictly Hyperbolic Equation on a Half-Plane in the Case of a Single Characteristic. — ResearchGate, 2023.
  24. Ortner N., Wagner P. Solution of the initial-boundary-value problem for the simply supported semi-infinite Timoshenko beam// J. Elast. — 1996. — 42. — P. 217–241.
  25. Sitnik S. M., Shakhobiddin T. K. Solution of the Goursat problem for a fourth-order hyperbolic equation with singular coefficients by the method of transmutation operators// Mathematics. — 2023. — 11, № 4. — 951.
  26. Trenogin V. A Invertibility of nonlinear operators and parameter continuation method// in: Spectral and Scattering Theory (Ramm A. G., ed.). — Boston: Springer, 1998. — P. 189–197.
  27. Utkina E. A. Dirichlet problem for a fourth-order equation// Differ. Equations. — 2011. — 47, № 4. — P. 599–603.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Korzyuk V.I., Rudzko J.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».