Solvability of a mixed problem for a hyperbolic equation with splitting boundary conditions in the case of incomplete system of eigenfunctions
- Authors: Rykhlov V.S.1
-
Affiliations:
- Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
- Issue: Vol 204 (2022)
- Pages: 124-134
- Section: Статьи
- URL: https://journal-vniispk.ru/2782-4438/article/view/270016
- DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-204-124-134
- ID: 270016
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we consider a mixed problem for a second-order hyperbolic equation with constant coefficients and a mixed partial derivative. We assume that the boundary conditions are splitted (i.e., one condition is posed at the left endpoint of the main interval and the other at the right endpoint) and the roots of the characteristic equation are simple and lie on the positive half-line. The coefficients of the equation and the boundary conditions are constrained by conditions that guarantee the absence of the two-fold completeness of eigenfunctions of the corresponding spectral problem for the differential quadratic pencil. Using the Poincare-Cauchy contour integral method, we to obtain sufficient conditions for the solvability of this problem.
Keywords
mixed problem, hyperbolic equation, existence of solutions, solvability of mixed problem, splitting boundary conditions, constant coefficients, eigenfunctions, two-fold incompleteness, two-fold expansion, irregular operator pencil, differential pencil, contour integral method, Poincare-Cauchy method
About the authors
V. S. Rykhlov
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Author for correspondence.
Email: rykhlovvs@yandex.ru
Russian Federation, Саратов
References
- Вагабов А. И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем// Докл. АН СССР. — 1964. — 155, № 6. — С. 1247-1249.
- Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. — Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов. ун-та, 1994.
- Гуревич А. П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знако- переменной весовой функцией// Мат. заметки. — 1994. — 56, № 1. — С. 3-15.
- Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями// Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Мат. Мех. Информ. — 2007. 7, № 2. — С. 10-14.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
- Расулов М. Л. Исследование вычетного метода решения некоторых смешанных задач для дифферен циальных уравнений// Мат. сб. — 1952. — 30 (72), № 3. — С. 509-528.
- Расулов М. Л. Вычетный метод решения смешанных задач для дифференциальных уравнений и формула разложения произвольной вектор-функции по фундаментальным функциям граничной задачи с параметром// Мат. сб. — 1959. — 48 (90), № 3. — С. 277-310.
- Расулов М. Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифферен циальных уравнений. — М.: Наука, 1964.
- Рыхлов В. С. О полноте собственных функций квадратичных пучков обыкновенных дифференциаль ных операторов// Изв. вузов. Мат. — 1992. — № 3. — С. 35-44.
- Рыхлов В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов// в кн.: Математика. Механика. — Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2001. — Т 3. — С. 114 117.
- Рыхлов В. С. Разложение по собственным функциям квадратичных сильно нерегулярных пучков дифференциальных операторов второго порядка// Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Мат. Мех. Информ.2013. — 13, № 1. — С. 21-26.
- Рыхлов В. С. О полноте корневых функций полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами// Таврич. вестн. информ. мат. — 2015. — № 1 (26).С. 69-86.
- Рыхлов В. С. О разрешимости смешанной задачи для некоторых гиперболических уравнений при отсутствии полноты собственных функций// Мат. Всеросс. конф. «Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-XXXI. Современные методы теории краевых задач» (4-7 мая 2020 г., Воронеж). — Воронеж: ВГУ, 2020. — С. 184-187.
- Тамаркин Я. В. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. — Петроград, 1917.
- Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка// в кн.: Исследования по теории операторов. — Уфа: Изд-во БНЦ УрО АН СССР, 1988. — С. 182 193.
- Хромов А. П. О классическом решении смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью// Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Мат. Мех. Информ. — 2019. — 19, № 3. — С. 280-288.
- Хромов А. П, Корнев В. В. Классическое и обобщенное решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения// Докл. РАН. — 2019. — 484, № 1. — С. 18-20.
- Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях// Тр. семин. им. И. Г. Петровского. — 1983. — 9. — С. 190-229.
- Birkhoff G. D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations// Trans. Am. Math. Soc. — 1908. — 9. — P. 373-395.
- Cauchy A. L. Memoire sur l’application du calcal des residus a la solution des problemes de physique mathematique. — Paris, 1827.
- Cauchy A. L. Oeuvres compleetes d’Augustin Cauchy (II Ser.). Tome VII. — Paris, 1827.
- Poincare M. H. Sur les equations de la physique mathinatique// Rend. Circ. Mat. — 1894. — 8. — P. 57 155.
- Tamarkin J. D. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions// Math. Z. — 1927. — 27. — P. 1-54.
Supplementary files
