Том 241 (2025)

Получены критерии устойчивости по Ляпунову систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аддитивных преобразований разностных схем и формулы конечных приращений. Математическая конструкция критериев влечет возможность программной реализации. Для вычисления приближенных значений решения системы применяется кусочно интерполяционный метод с итерационным уточнением. Определение точек Лагранжа основано на вычислении минимума модуля функции при помощи устойчивой адресной сортировки слиянием. Применение критериев на практике позволяет выполнять анализ устойчивости в режиме реального времени.

Необходимое условие глобальной оптимальности — позиционный принцип минимума (F-ПМ), установленный для задач со свободным правым концом траекторий, обобщается на гладкую задачу с терминальными ограничениями типа равенства. Для этого применяется абстрактный метод опорных мажорант, который конкретизируется для задачи управления на уровне модифицированной функции Лагранжа с квадратичным штрафом. Но соответствующая безусловная экстремальная задача не требует решения: если исследуемый процесс оптимален в исходной задаче управления, то спуск с него в безусловной задаче на допустимую траекторию с помощью F-ПМ невозможен (при любом выборе множителя Лагранжа и штрафного параметра). Нарушение этого необходимого условия сопровождается предъявлением улучшающего процесса (который может оказаться скользящим режимом). Конструктивную основу F-ПМ составляет метод спуска с управлениями в форме обратной связи. Применение этого метода естественно и в известных методах Кротова и Понтрягина, в которых минимизируются соответственно модифицированные лагранжианы Кротова и бипозиционные лагранжианы. В результате такого расширения области применения метода позиционного спуска получены позиционные версии методов Кротова и Понтрягина, которые значительно эффективнее традиционных.

В работе рассматривается задача оптимального управления, содержащая запаздывание по фазовым переменным и управляемые разрывы фазовой траектории. Для решения задачи такого типа предлагается использовать метод параметризации, заключающийся в представлении управляющих функций в виде обобщенного сплайна с подвижными узлами и последующем сведении исходной задачи к конечномерной задаче нелинейного программирования относительно параметров управления. В данном исследовании в число переменных полученной конечномерной задачи включаются моменты разрыва фазовой траектории. Для переменных конечномерной задачи предлагается алгоритм вычисления производных целевой функции на основе использования сопряженных переменных исходной задачи оптимального управления. Предлагаемый алгоритм решения рассматриваемых задач оптимального апробирован на примерах, приведенных в работе.

Рассматривается невыпуклая линейно-квадратичная задача оптимального управления со знаконеопределенными матрицами квадратичных форм. Выполнены преобразование и параметризация целевого функционала, что приводит к семейству идентичных задач в смысле глобального решения. Получены условия на параметры, которые выделяют выпуклые задачи. Реализована процедура параметрической оптимизации по критерию близости к исходной задаче. Построены выпуклые линейно-квадратичные задачи, которые обеспечивают возможность улучшения экстремальных управлений в невыпуклой задаче.

Представлена вычислительная модель решения первой краевой задачи для смешанного дифференциального уравнения в пространственно двумерном случае по неявной разностной схеме. Для уравнения четвёртого порядка использованы два различных оператора второго порядка, аналогичных одномерному по пространственной переменной смешанному оператору теплопроводности, обобщающему чисто гиперболический случай и применяемому при математическом моделировании процесса отключения электрической дуги. Доказана корректность поставленной краевой задачи.