Том 243 (2025)
Статьи
Реваз Валерианович Гамкрелидзе (некролог)
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:3-4
3-4
Применение метода Пикара к решению задачи Коши для некоторых дробных дифференциальных уравнений
Аннотация
В работе применяется метод Пикара к решению задачи Коши для ряда уравнений с дробной производной типа Атаньяны—Балеану. Построена схема вычисления последовательных приближений решения и доказана ее сходимость.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:5-10
5-10
Контрастные структуры в системе реакция-диффузия с разномасштабными коэффициентами диффузии и разрывными функциями реакции
Аннотация
Исследуется одномерная система уравнений реакции-диффузии с разномасштабными коэффициентами диффузии и разрывными функциями реакции и краевыми условиями Неймана. Показано, что сингулярное возмущение в уравнении для быстрой компоненты и наличие разрывов приводят к образованию контрастных структур с переходным слоем. Проведен анализ существования, единственности и асимптотической устойчивости стационарного решения. Проведенный анализ позволяет обосновать корректность численных методов для подобных систем и предсказать поведение решения в областях резкого изменения, что важно для разработки эффективных вычислительных алгоритмов.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:11-24
11-24
Периодические бегущие волны уравнения Курамото—Сивашинского
Аннотация
Рассматривается периодическая краевая задача для уравнения Курамото—Сивашинского. Показано, что существует двупараметрическое семейство решений, которые имеют структуру бегущих волн, и получены асимптотические формулы для них. Показано также, что совокупность таких решений образует двумерное инвариантное многообразие, которое является локальным аттрактором. Указанные решения имеют разные периоды по переменной $t$, неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Перрону, Пуанкаре и Жуковскому. Обоснование результатов основано на теории инвариантных многообразий и нормальных форм Пуанкаре—Дюлака.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:25-37
25-37
Формирование погранслойного решения в задаче для системы уравнений реакция-диффузия в ограниченном объеме
Аннотация
Рассматривается система уравнений, описывающая протекание двухкомпонентной химической реакции в ограниченном объеме. Предполагается, что реакция происходит в растворе, концентрация продуктов реакции в нем со временем увеличивается, затем происходит насыщение, т.е. концентрация продуктов реакции становится максимально возможной при данных условиях, после чего реакция останавливается. С помощью подобной постановки можно описывать микроскопические процессы, происходящие при закачке CO$_2$ в породу, представляющую собой пористую среду с порами, заполненными водой. Для системы двух уравнений типа «реакция-диффузия» на отрезке показано, что за конечное время из заданной начальной функции формируется решение, близкое к стационарному распределению, отвечающему концентрации насыщенного раствора при данных условиях.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:38-44
38-44
О периодических решениях с пограничным слоем в задаче с нелинейным сингулярно возмущенным граничным условием
Аннотация
Для задачи реакция-диффузия с нелинейным сингулярно возмущенным граничным условием доказано существование и исследована устойчивость периодических решений, обладающих пограничным слоем. Получены условия, при которых эти решения асимптотически устойчивы по Ляпунову. Доказательство основано на асимптотическом методе дифференциальных неравенств.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:45-55
45-55
Формирование фронта в задаче реакция-диффузия с нелинейной диффузией
Аннотация
Рассмотрен процесс формирования решения вида фронта в уравнении реакция-диффузия в случае пространственно неоднородной нелинейной диффузии. Сформулированы достаточные условия, обеспечивающие формирование резкого внутреннего переходного слоя (фронта) в окрестности некоторой точки, получены оценки длительности переходного процесса.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:56-62
56-62
О неотрицательных решениях систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при нечетких начальных данных и неоднородностях
Аннотация
Systems of linear differential equations with variable coefficients with fuzzy initial data and inhomogeneities are examined. In the case of matrices with nonnegative elements, we prove the existence of strong solutions of homogeneous and inhomogeneous initial problems and periodic solutions. The main attention is paid to the nonnegativity of solutions to the corresponding linear problems. It is established under the additional assumption of nonnegativity of fuzzy initial data and heterogeneities. An application to a dynamic model of input-output balance with fuzzy data is considered.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:63-77
63-77
Нормальность в вещественных AW*-алгебрах
Аннотация
Исследуется понятие нормальности в вещественных AW*-алгебрах. Рассмотрен вопрос о том, сохраняется ли нормальность при переходе от комплексной AW*-алгебры к её вещественной части, доказана нормальность вещественных AW*-факторов. Установлены условия, при которых вещественная AW*-алгебра является нормальной, в частности, в случае локальной $\sigma$-конечности центра алгебры. Полученные результаты являются вещественными аналогами известных теорем о нормальности в AW*-алгебрах и развивают теорию операторных алгебр в вещественном контексте.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:78-80
78-80
Особенности решения вида движущегося фронта двумерной задачи с разрывной кубической нелинейностью
Аннотация
Исследуется решение вида движущегося фронта для двумерного уравнения типа реакция-диффузия с кубической нелинейностью. Представлена методика получения асимптотического приближения движущегося фронта, распространяющегося в среде с разрывными характеристиками, рассмотрены основные особенности, возникающие при решении двумерной задачи.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:81-89
81-89
Управление динамическими системами при дефиците информации. Гарантированный подход. I. Алгоритмы оценивания
Аннотация
В работе рассматриваются задачи синтеза позиционного управления линейными динамическими системами, когда необходимо гарантированное достижение цели управления, а возмущения, действующие на динамическую систему, и помехи в информационных каналах системы известны с точностью до множеств, из которых они могут принимать любые значения. Построены множества информационные множества и множества прогнозов, гарантированно содержащие вектор состояния. Задачи управления решены для случая задания требований к системе в виде множеств в фазовом пространстве, которым должен принадлежать вектор состояния с учетом ограничений на управление, либо при требованиях в виде квадратичного функционала. Показано применение функций Ляпунова для синтеза управления. Первая часть работы посвящена алгоритмам оценивания.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;243:90-112
90-112