Том 241 (2025)
Статьи
Критерии устойчивости систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аддитивных преобразований формулы конечных приращений
Аннотация
Получены критерии устойчивости по Ляпунову систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аддитивных преобразований разностных схем и формулы конечных приращений. Математическая конструкция критериев влечет возможность программной реализации. Для вычисления приближенных значений решения системы применяется кусочно интерполяционный метод с итерационным уточнением. Определение точек Лагранжа основано на вычислении минимума модуля функции при помощи устойчивой адресной сортировки слиянием. Применение критериев на практике позволяет выполнять анализ устойчивости в режиме реального времени.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:3-12
3-12
О максимальном числе остовных деревьев в кактусах с заданным числом вершин
Аннотация
Число остовных деревьев графа является важной характеристикой его надежности как сети передачи данных. Найдено максимальное число остовных деревьев в кактусе с заданным числом вершин, а также в двудольном кактусе с заданным числом вершин. Экстремальными графами, в частности, являются графы дружбы и сети Коха.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:13-17
13-17
Позиционный принцип минимума в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями и его расширения
Аннотация
Необходимое условие глобальной оптимальности — позиционный принцип минимума (F-ПМ), установленный для задач со свободным правым концом траекторий, обобщается на гладкую задачу с терминальными ограничениями типа равенства. Для этого применяется абстрактный метод опорных мажорант, который конкретизируется для задачи управления на уровне модифицированной функции Лагранжа с квадратичным штрафом. Но соответствующая безусловная экстремальная задача не требует решения: если исследуемый процесс оптимален в исходной задаче управления, то спуск с него в безусловной задаче на допустимую траекторию с помощью F-ПМ невозможен (при любом выборе множителя Лагранжа и штрафного параметра). Нарушение этого необходимого условия сопровождается предъявлением улучшающего процесса (который может оказаться скользящим режимом). Конструктивную основу F-ПМ составляет метод спуска с управлениями в форме обратной связи. Применение этого метода естественно и в известных методах Кротова и Понтрягина, в которых минимизируются соответственно модифицированные лагранжианы Кротова и бипозиционные лагранжианы. В результате такого расширения области применения метода позиционного спуска получены позиционные версии методов Кротова и Понтрягина, которые значительно эффективнее традиционных.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:18-29
18-29
Вероятностные распределения, задаваемые с помощью чисел Лаха и обобщенных чисел Лаха
Аннотация
Рассматриваются вероятностные распределения, описываемые с помощью чисел Лаха и обобщённых чисел Лаха. Исследуются корни производящих функций. Находятся числовые характеристики. Изучается асимптотическое поведение распределений.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:30-39
30-39
Применение метода параметризации для решения задач оптимального управления с разрывами фазовой траектории
Аннотация
В работе рассматривается задача оптимального управления, содержащая запаздывание по фазовым переменным и управляемые разрывы фазовой траектории. Для решения задачи такого типа предлагается использовать метод параметризации, заключающийся в представлении управляющих функций в виде обобщенного сплайна с подвижными узлами и последующем сведении исходной задачи к конечномерной задаче нелинейного программирования относительно параметров управления. В данном исследовании в число переменных полученной конечномерной задачи включаются моменты разрыва фазовой траектории. Для переменных конечномерной задачи предлагается алгоритм вычисления производных целевой функции на основе использования сопряженных переменных исходной задачи оптимального управления. Предлагаемый алгоритм решения рассматриваемых задач оптимального апробирован на примерах, приведенных в работе.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:40-54
40-54
Потери энергии быстрой цветной частицы в неабелевой плазме в рамках гамильтонова формализма
Аннотация
Выведена общая формула для потери энергии быстрой цветозаряженной частицы при её рассеянии на мягких бозонных возбуждениях кварк-глюонной плазмы в рамках классического гамильтонова формализма. Введено понятие эффективного тока рассматриваемого процесса рассеяния, определена его связь с классической матрицей рассеяния и найдена формула для потерь энергии высокоэнергетичной цветной частицы, движущейся в высокотемпературной плазме с неабелевым типом взаимодействия.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:55-63
55-63
Параметрическая трансформация невыпуклых задач оптимального управления
Аннотация
Рассматривается невыпуклая линейно-квадратичная задача оптимального управления со знаконеопределенными матрицами квадратичных форм. Выполнены преобразование и параметризация целевого функционала, что приводит к семейству идентичных задач в смысле глобального решения. Получены условия на параметры, которые выделяют выпуклые задачи. Реализована процедура параметрической оптимизации по критерию близости к исходной задаче. Построены выпуклые линейно-квадратичные задачи, которые обеспечивают возможность улучшения экстремальных управлений в невыпуклой задаче.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:64-70
64-70
Об одном $SI^{\ast}$-интервале мультиопераций ранга $2$
Аннотация
Рассматриваются мультиоперации ранга $2$ с суперпозицией, определенной на основе теоретико-множественной операции пересечения с выделением одного элемента. Описан интервал между клоном самодвойственных операций и мультиклоном всех мультиопераций. Полученные результаты могут быть применены при изучении других интервалов в решетке мультиклонов ранга $2$.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:71-82
71-82
Первая краевая задача для некоторых смешанных уравнений теплопроводности второго и четвертого порядков
Аннотация
Представлена вычислительная модель решения первой краевой задачи для смешанного дифференциального уравнения в пространственно двумерном случае по неявной разностной схеме. Для уравнения четвёртого порядка использованы два различных оператора второго порядка, аналогичных одномерному по пространственной переменной смешанному оператору теплопроводности, обобщающему чисто гиперболический случай и применяемому при математическом моделировании процесса отключения электрической дуги. Доказана корректность поставленной краевой задачи.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:83-89
83-89
Обобщенные уравнения Навье—Стокса, ассоциированные с комплексом Дольбо
Аннотация
Рассматривается задача Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений, структурно похожая на классические эволюционные уравнения Навье—Стокса для несжимаемой жидкости. Основное отличие этой системы состоит в том, что она порождена не стандартными операторами градиента, дивергенции и poтopa, а многомерным оператором Коши—Римана, его комплексом совместности (который обычно называется комплексом Дольбо) и его формально сопряженным оператором. Схожесть структуры позволяет доказать для этой задачи теорему существования слабых решений и теорему об открытом отображении на шкале специально построенных пространств Бохнера—Соболева. Кроме того, получен критерий существования «сильного» решения в данных пространствах.
Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2025;241:90-100
90-100