Полиномиальная неинтегрируемость магнитных бильярдов на сфере и гиперболической плоскости

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В статье рассматривается магнитный бильярд в выпуклой области с гладкой границей на поверхности постоянной кривизны в постоянном магнитном поле. Исследуется вопрос о существовании интеграла движения, полиномиального по компонентам скорости. Доказано, что если такой интеграл существует, то граница области определяет несингулярную алгебраическую кривую в $\mathbb{C}^3$. Также доказано, что для области, отличной от геодезического диска, магнитный бильярд не допускает полиномиального интеграла для всех значений магнитуды магнитного поля за исключением, быть может, конечного числа. Для доказательства основных теорем этой работы мы вводим новую динамическую систему “внешний магнитный бильярд” на поверхности постоянной кривизны, которая “двойственна” магнитному бильярду. Переход к этой динамической системе позволяет применить к магнитному бильярду методы алгебраической геометрии. Библиография: 30 названий.

Об авторах

Михаил Л. Бялый

Tel Aviv University, School of Mathematical Sciences

Андрей Евгеньевич Миронов

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук; Новосибирский государственный университет

Email: mironov@math.nsc.ru
доктор физико-математических наук, без звания

Список литературы

  1. P. Albers, G. D. Banhatti, M. Herrmann, Numerical simulations of magnetic billiards in a convex domain in ${mathbb R}^2$, 2017, 10 pp.
  2. A. Avila, J. De Simoi, V. Kaloshin, “An integrable deformation of an ellipse of small eccentricity is an ellipse”, Ann. of Math. (2), 184:2 (2016), 527–558
  3. N. Berglund, H. Kunz, “Integrability and ergodicity of classical billiards in a magnetic field”, J. Statist. Phys., 83:1-2 (1996), 81–126
  4. M. Bialy, “On totally integrable magnetic billiards on constant curvature surface”, Electron. Res. Announc. Math. Sci., 19 (2012), 112–119
  5. M. Bialy, A. E. Mironov, “Algebraic non-integrability of magnetic billiards”, J. Phys. A, 49:45 (2016), 455101, 18 pp.
  6. М. Бялый, А. Е. Миронов, “О полиномиальных интегралах четвертой степени бильярда Биркгофа”, Современные проблемы механики, Сборник статей, Тр. МИАН, 295, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2016, 34–40
  7. M. Bialy, A. E. Mironov, “Angular billiard and algebraic Birkhoff conjecture”, Adv. Math., 313 (2017), 102–126
  8. M. Bialy, A. E. Mironov, “Algebraic Birkhoff conjecture for billiards on sphere and hyperbolic plane”, J. Geom. Phys., 115 (2017), 150–156
  9. M. Bialy, A. E. Mironov, “A survey on polynomial in momenta integrals for billiard problems”, Philos. Trans. Roy. Soc. A, 376:2131 (2018), 20170418, 19 pp.
  10. С. В. Болотин, “Интегрируемые биллиарды Биркгофа”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1990, № 2, 33–36
  11. С. В. Болотин, “Интегрируемые бильярды на поверхностях постоянной кривизны”, Матем. заметки, 51:2 (1992), 20–28
  12. A. Glutsyuk, “On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) (to appear)
  13. А. А. Глуцюк, “О двумерных полиномиально интегрируемых бильярдах на поверхностях постоянной кривизны”, Докл. РАН, 481:6 (2018), 594–598
  14. B. Gutkin, “Hyperbolic magnetic billiards on surfaces of constant curvature”, Comm. Math. Phys., 217:1 (2001), 33–53
  15. E. Gutkin, S. Tabachnikov, “Billiards in Finsler and Minkowski geometries”, J. Geom. Phys., 40:3-4 (2002), 277–301
  16. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
  17. V. Kaloshin, A. Sorrentino, “On the local Birkhoff conjecture for convex billiards”, Ann. of Math. (2), 188:1 (2018), 315–380
  18. В. В. Козлов, “Полиномиальные законы сохранения для газа Лоренца и газа Больцмана–Гиббса”, УМН, 71:2(428) (2016), 81–120
  19. В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во МГУ, М., 1991, 168 с.
  20. M. Robnik, M. V. Berry, “Classical billiards in magnetic fields”, J. Phys. A, 18:9 (1985), 1361–1378
  21. V. Schastnyy, D. Treschev, “On local integrability in billiard dynamics”, Exp. Math. (to appear) , publ. online 2017
  22. С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102
  23. S. Tabachnikov, Billiards, Panor. Synth., 1, Soc. Math. France, Paris, 1995, vi+142 pp.
  24. S. Tabachnikov, “Remarks on magnetic flows and magnetic billiards, Finsler metrics and a magnetic analog of Hilbert's fourth problem”, Modern dynamical systems and applications, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, 233–250
  25. S. Tabachnikov, “On algebraically integrable outer billiards”, Pacific J. Math., 235:1 (2008), 89–92
  26. D. Treschev, “Billiard map and rigid rotation”, Phys. D, 255 (2013), 31–34
  27. Д. В. Трещев, “Об одной задаче сопряжения в динамике бильярда”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Тр. МИАН, 289, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 309–317
  28. D. Treschev, “A locally integrable multi-dimensional billiard system”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 37:10 (2017), 5271–5284
  29. A. P. Veselov, “Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space”, J. Geom. Phys., 7:1 (1990), 81–107
  30. B. L. van der Waerden, Einführung in die algebraische Geometrie, Grundlehren Math. Wiss., 51, Springer, Berlin, 1939, vii+247 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Бялый М.Л., Миронов А.Е., 2019

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).