The Dickman–Goncharov distribution

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In the 1930s and 40s, one and the same delay differential equation appeared in papers by two mathematicians, Karl Dickman and Vasily Leonidovich Goncharov, who dealt with completely different problems. Dickman investigated the limit value of the number of natural numbers free of large prime factors, while Goncharov examined the asymptotics of the maximum cycle length in decompositions of random permutations. The equation obtained in these papers defines, under a certain initial condition, the density of a probability distribution now called the Dickman–Goncharov distribution (this term was first proposed by Vershik in 1986). Recently, a number of completely new applications of the Dickman–Goncharov distribution have appeared in mathematics (random walks on solvable groups, random graph theory, and so on) and also in biology (models of growth and evolution of unicellular populations), finance (theory of extreme phenomena in finance and insurance), physics (the model of random energy levels), and other fields. Despite the extensive scope of applications of this distribution and of more general but related models, all the mathematical aspects of this topic (for example, infinite divisibility and absolute continuity) are little known even to specialists in limit theorems. The present survey is intended to fill this gap. Both known and new results are given.Bibliography: 62 titles.

About the authors

Stanislav Alekseevich Molchanov

University of North Carolina Charlotte; Laboratory of Stochastic Analysis and its Applications, National Research University Higher School of Economics

Email: smolchan@uncc.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vladimir Alexandrovich Panov

Laboratory of Stochastic Analysis and its Applications, National Research University Higher School of Economics

Email: vpanov@hse.ru
PhD

References

  1. A. Alhakim, S. Molchanov, “The density flatness phenomenon”, Statist. Probab. Lett., 152 (2019), 156–161
  2. K. Alladi, “The Turan–Kubilius inequality for integers without large prime factors”, J. Reine Angew. Math., 1982:335 (1982), 180–196
  3. Z. D. Bai, Sungchul Lee, M. D. Penrose, “Rooted edges of a minimal directed spanning tree on random points”, Adv. in Appl. Probab., 38:1 (2006), 1–30
  4. G. Ben Arous, L. V. Bogachev, S. A. Molchanov, “Limit theorems for sums of random exponentials”, Probab. Theory Related Fields, 132:4 (2005), 579–612
  5. A. G. Bhatt, R. Roy, “On a random directed spanning tree”, Adv. in Appl. Probab., 36:1 (2004), 19–42
  6. P. Billingsley, “On the distribution of large prime divisors”, Period. Math. Hungar., 2:1-4 (1972), 283–289
  7. A. Bovier, I. Kurkova, M. Löwe, “Fluctuations of the free energy in the REM and the $p$-spin SK models”, Ann. Probab., 30:2 (2002), 605–651
  8. А. А. Бухштаб, “О числах арифметической прогрессии, у которых все простые множители малы по порядку роста”, Докл. АН СССР, 67 (1949), 5–8
  9. S. Chatterjee, Sanchayan Sen, “Minimal spanning trees and Stein's method”, Ann. Appl. Probab., 27:3 (2017), 1588–1645
  10. R. Cont, P. Tankov, Financial modelling with jump processes, Chapman & Hall/CRC Financ. Math. Ser., Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004, xvi+535 pp.
  11. S. Covo, “On approximations of small jumps of subordinators with particular emphasis on a Dickman-type limit”, J. Appl. Probab., 46:3 (2009), 732–755
  12. N. G. de Bruijn, “On the number of positive integers $leq x $ and free of prime factors ${> y}$”, Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser. A, 54, =Indag. Math., 13 (1951), 50–60
  13. N. G. de Bruijn, “On the number of positive integers $leq x$ and free of prime factors ${>y}$. II”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 69, =Indag. Math., 28 (1966), 239–247
  14. L. De Haan, S. I. Resnick, H. Rootzen, C. de Vries, “Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes”, Stochastic Process. Appl., 32:2 (1989), 213–224
  15. G. Derfel, Yaqin Feng, S. Molchanov, “Probabilistic approach to a cell growth model”, Differential equations, mathematical physics, and applications: Selim Grigorievich Krein centennial, Contemp. Math., 734, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, 95–106
  16. B. Derrida, “Random-energy model: limit of a family of disordered models”, Phys. Rev. Lett., 45:2 (1980), 79–82
  17. B. Derrida, “Random-energy model: an exactly solvable model of disordered systems”, Phys. Rev. B (3), 24:5 (1981), 2613–2626
  18. L. Devroye, Non-uniform random variate generation, Springer-Verlag, New York, 1986, xvi+843 pp.
  19. K. Dickman, “On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude”, Ark. för Mat. A, 22 (1930), 10, 14 pp.
  20. Dickman function, Encyclopedia of mathematics,par, ed. U. Rehmann
  21. J. Diebolt, D. Guegan, “Tail behaviour of the stationary density of general non-linear autoregressive processes of order 1”, J. Appl. Probab., 30:2 (1993), 315–329
  22. T. Eisele, “On a third-order phase transition”, Comm. Math. Phys., 90:1 (1983), 125–159
  23. P. Embrechts, C. Goldie, “Perpetuities and random equations”, Asymptotic statistics (Prague, 1993), Contrib. Statist., Physica, Heidelberg, 1994, 75–86
  24. P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch, Modelling extremal events for insurance and finance, Appl. Math. (N. Y.), 33, Springer-Verlag, Berlin, 1997, xvi+645 pp.
  25. P. Erdös, “On a family of symmetric Bernoulli convolutions”, Amer. J. Math., 61:4 (1939), 974–976
  26. P. Erdös, “On the smoothness properties of a family Bernoulli convolutions”, Amer. J. Math., 62 (1940), 180–186
  27. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, Мир, М., 1964, 498 с.
  28. Shui Feng, The Poisson–Dirichlet distribution and related topics. Models and asymptotic behaviors, Probab. Appl. (N. Y.), Springer, Heidelberg, 2010, xiv+218 pp.
  29. В. Л. Гончаров, “Из области комбинаторики”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 8:1 (1944), 3–48
  30. M. Grabchak, S. A. Molchanov, “Limit theorems for random exponentials: the bounded support case”, Теория вероятн. и ее примен., 63:4 (2018), 779–794
  31. A. Hildebrand, “Integers free of large prime factors and the Riemann hypothesis”, Mathematika, 31:2 (1984), 258–271
  32. A. Hildebrand, “On the number of positive integers $leq x$ and free of prime factors ${> y}$”, J. Number Theory, 22:3 (1986), 289–307
  33. A. Hildebrand, G. Tenenbaum, “On integers free of large prime factors”, Trans. Amer. Math. Soc., 296:1 (1986), 265–290
  34. A. Hildebrand, G. Tenenbaum, “Integers without large prime factors”, J. Theor. Nombres Bordeaux, 5:2 (1993), 411–484
  35. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, 2-е изд., УРСС, М., 2003, 273 с.
  36. D. E. Knuth, L. Trabb Pardo, “Analysis of a simple factorization algorithm”, Theoret. Comput. Sci., 3:3 (1976/77), 321–348
  37. В. Д. Конаков, С. Меноззи, C. А. Молчанов, “Диффузионные процессы и их аппроксимации на разрешимых группах верхнетреугольных $(2times 2)$-матриц”, Докл. РАН, 439:5 (2011), 585–588
  38. V. Konakov, S. Menozzi, S. Molchanov, “The Brownian motion on $operatorname{Aff}(mathbb R)$ and quasi-local theorems”, Probabilistic methods in geometry, topology and spectral theory, Contemp. Math., 739, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, 97–125
  39. Г. Маккин, Стохастические интегралы, Мир, М., 1972, 184 с.
  40. S. Molchanov, V. Panov, “Limit theorems for the alloy-type random energy model”, Stochastics, 91:5 (2019), 754–772
  41. P. Moree, “Nicolaas Govert de Bruijn, the enchanter of friable integers”, Indag. Math. (N. S.), 24:4 (2013), 774–801
  42. K. K. Norton, Numbers with small prime factors, and the least $k$th power non-residue, Mem. Amer. Math. Soc., 106, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1971, ii+106 pp.
  43. E. Olivieri, P. Picco, “On the existence of thermodynamics for the random energy model”, Comm. Math. Phys., 96:1 (1984), 125–144
  44. M. D. Penrose, A. R. Wade, “Random minimal directed spanning trees and Dickman-type distributions”, Adv. in Appl. Probab., 36:3 (2004), 691–714
  45. M. D. Penrose, A. R. Wade, “On the total length of the random minimal directed spanning tree”, Adv. in Appl. Probab., 38:2 (2006), 336–372
  46. M. D. Penrose, A. R. Wade, “Limit theorems for random spatial drainage networks”, Adv. in Appl. Probab., 42:3 (2010), 659–688
  47. Y. Peres, W. Schlag, B. Solomyak, “Sixty years of Bernoulli convolutions”, Fractal geometry and stochastics II (Greifswald/Koserow, 1998), Progr. Probab., 46, Birkhäuser, Basel, 2000, 39–65
  48. Y. Peres, B. Solomyak, “Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof”, Math. Res. Lett., 3:2 (1996), 231–239
  49. Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 3-е перераб. изд., Наука, М., 1987, 398 с.
  50. S. Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, with an introduction by G. E. Andrews, Springer-Verlag, Berlin; Narosa Publ. House, New Delhi, 1988, xxv+419 pp.
  51. V. Ramaswami, “On the number of positive integers less than $x$ and free of prime divisors greater than $x^{c}$”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:12 (1949), 1122–1127
  52. R. A. Rankin, “The difference between consecutive prime numbers”, J. London Math. Soc., s1-13:4 (1938), 242–247
  53. I. Rodriguez-Iturbe, A. Rinaldo, Fractal river basins. Chance and self-organization, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001, 570 pp.
  54. L. C. G. Rogers, D. Williams, Diffusions, Markov processes and martingales, v. 2, Cambridge Math. Lib., Itô calculus, Reprint of the 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, xiv+480 pp.
  55. W. Schoutens, Levy processes in finance. Pricing financial derivatives, John Wiley and Sons, Chichester, 2003, 200 pp.
  56. P. Seba, “Markov chain of distances between parked cars”, J. Phys. A, 41:12 (2008), 122003, 5 pp.
  57. B. Solomyak, “On the random series $sum pmlambda^n$ (an Erdös problem)”, Ann. of Math. (2), 142:3 (1995), 611–625
  58. G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Transl. from the French, Grad. Stud. Math., 163, 3rd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xxiv+629 pp.
  59. А. М. Вершик, “Асимптотическое распределение разложений натуральных чисел на простые делители”, Докл. АН СССР, 289:2 (1986), 269–272
  60. А. М. Вершик, “Существует ли мера Лебега в бесконечномерном пространстве?”, Анализ и особенности. Часть 2, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН, 259, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2007, 256–281
  61. А. М. Вершик, А. А. Шмидт, “Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. I”, Теория вероятн. и ее примен., 22:1 (1977), 72–88
  62. А. М. Вершик, А. А. Шмидт, “Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. II”, Теория вероятн. и ее примен., 23:1 (1978), 42–54

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Molchanov S.A., Panov V.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».