Structures of non-classical discontinuities in solutions of hyperbolic systems of equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Discontinuity structures in solutions of a hyperbolic system of equations are considered. The system of equations has a rather general form and, in particular, can describe the longitudinal and torsional non-linear waves in elastic rods in the simplest setting and also one-dimensional waves in unbounded elastic media. The properties of discontinuities in solutions of these equations have been investigated earlier under the assumption that only the relations following from the conservation laws for the longitudinal momentum and angular momentum about the axis of the rod and the displacement continuity condition hold on the discontinuities. The shock adiabat has been studied. This paper deals with stationary discontinuity structures under the assumption that viscosity is the main governing mechanism inside the structure. Some segments of the shock adiabat are shown to correspond to evolutionary discontinuities without structure. It is also shown that there are special discontinuities on which an additional relation must hold, which arises from the condition that a discontinuity structure exists. The additional relation depends on the processes in the structure. Special discontinuities satisfy evolutionary conditions that differ from the well-known Lax conditions. Conclusions are discussed, which can also be of interest in the case of other systems of hyperbolic equations.Bibliography: 58 titles.

About the authors

Andrey Gennadievich Kulikovskii

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: kulik@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Anna Pavlovna Chugainova

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: anna_ch@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. M. Ergashov, “A study of the propagation of elastic waves in wound structures taking into account their rotation under extension”, J. Appl. Math. Mech., 56:1 (1992), 117–124
  2. Х. Г. Умаров, “Задача Коши для уравнения крутильных колебаний нелинейно-упругого стержня бесконечной длины”, ПММ, 83:2 (2019), 249–264
  3. В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семерикова, Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность, Физматлит, М., 2002, 208 с.
  4. В. И. Ерофеев, Н. В. Клюева, “Распространение нелинейных крутильных волн в стержне из разномодульного материала”, Изв. РАН. МТТ, 2003, № 5, 147–153
  5. N. Sugimoto, Y. Yamane, T. Kakutani, “Oscillatory structured shock waves in a nonlinear elastic rod with weak viscoelasticity”, J. Appl. Mech., 51:4 (1984), 766–772
  6. Shan-yuan Zhang, Zhi-fang Liu, “Three kinds of nonlinear dispersive waves in elastic rods with finite deformation”, Appl. Math. Mech. (English Ed.), 29:7 (2008), 909–917
  7. S. S. Singh, “Soliton solutions of nonlinear wave equation in finite de-formation elastic cylindrical rod by solitary wave ansatz method”, Int. J. Phys. Res., 4:1 (2016), 12–14
  8. А. А. Малашин, “Продольно-поперечно-крутильные волны и колебания в музыкальных струнах”, Докл. РАН, 424:2 (2009), 197–199
  9. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Длинные нелинейные волны в анизотропных цилиндрах”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 57:7 (2017), 1198–1204
  10. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Ударные волны в анизотропных цилиндрах”, Современные проблемы и методы механики, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Леонида Ивановича Седова, Труды МИАН, 300, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 109–122
  11. A. P. Chugainova, A. G. Kulikovskii, “Longitudinal and torsional shock waves in anisotropic elastic cylinders”, Z. Angew. Math. Phys., 71:1 (2020), 17, 15 pp.
  12. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, 3-е изд., перераб., Наука, М., 1986, 736 с.
  13. P. D. Lax, “Hyperbolic systems of conservation laws. II”, Comm. Pure Appl. Math., 10:4 (1957), 537–566
  14. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Классические и неклассические разрывы в решениях уравнений нелинейной теории упругости”, УМН, 63:2(380) (2008), 85–152
  15. P. G. LeFloch, Hyperbolic systems of conservation laws. The theory of classical and nonclassical shock waves, Lectures Math. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2002, x+294 pp.
  16. N. Bedjaoui, P. G. LeFloch, “Diffusive-dispersive travelling waves and kinetic relations. V. Singular diffusion and nonlinear dispersion”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 134:5 (2004), 815–843
  17. А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов, Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, 2-е изд., испр. и доп., Физматлит, М., 2012, 656 с.
  18. G. A. El, M. A. Hoefer, M. Shearer, “Dispersive and diffusive-dispersive shock waves for nonconvex conservation laws”, SIAM Rev., 59:1 (2017), 3–61
  19. D. Jacobs, B. McKinney, M. Shearer, “Travelling wave solutions of the modified Korteweg–de Vries–Burgers equation”, J. Differential Equations, 116:2 (1995), 448–467
  20. A. L. Bertozzi, A. Münch, M. Shearer, “Undercompressive shocks in thin film flows”, Phys. D, 134:4 (1999), 431–464
  21. B. Hayes, M. Shearer, “Undercompressive shocks and Riemann problems for scalar conservation laws with non-convex fluxes”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 129:4 (1999), 733–754
  22. A. P. Chugainova, V. A. Shargatov, “Traveling waves and undercompressive shocks in solutions of the generalized Korteweg–de Vries–Burgers equation with a time-dependent dissipation coefficient distribution”, Eur. Phys. J. Plus, 135:8 (2020), 635, 18 pp.
  23. А. Г. Куликовский, “О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации”, ПММ, 32:6 (1968), 1125–1131
  24. А. Г. Куликовский, “Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура”, Теория вероятностей, теория функций, механика, Сборник обзорных статей 5. К 50-летию Института, Тр. МИАН СССР, 182, Наука, М., 1988, 261–291
  25. Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе, Математическая теория горения и взрыва, Наука, М., 1980, 479 с.
  26. Ю. П. Райзер, Лазерная искра и распространение разрядов, Наука, М., 1974, 308 с.
  27. A. B. Freidin, E. N. Vilchevskaya, I. K. Korolev, “Stress-assist chemical reactions front propagation in deformable solids”, Internat. J. Engrg. Sci., 83 (2014), 57–75
  28. A. B. Freidin, L. L. Sharipova, “Two-phase equilibrium microstructures against optimal composite microstructures”, Arch. Appl. Mech., 89 (2019), 561–580
  29. N. Bedjaoui, P. G. LeFloch, “Diffusive-dispersive travelling waves and kinetic relations. II. A hyperbolic-elliptic model of phase-transition dynamics”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 132:3 (2002), 545–565
  30. P. Germain, E. H. Lee, “On shock waves in elastic-plastic solids”, J. Mech. Phys. Solids, 21:6 (1973), 359–382
  31. В. М. Садовский, Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред, Наука, М., 1997, 208 с.
  32. С. К. Годунов, Е. И. Роменский, Элементы механики сплошной среды и законы сохранения, Научная книга, Новосибирск, 1998, 280 с.
  33. С. К. Годунов, И. М. Пешков, “Термодинамически согласованная нелинейная модель упругопластической среды Максвелла”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 50:8 (2010), 1481–1498
  34. N. Favrie, S. Gavrilyuk, “Dynamics of shock waves in elastic-plastic solids”, CANUM 2010, 40e congrès national d'analyse numerique, ESAIM Proc., 33, EDP Sci., Les Ulis, 2011, 50–67
  35. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Исследование разрывов в решениях уравнений упругопластической среды Прандтля–Рейсса”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 56:4 (2016), 650–663
  36. A. P. Chugainova, A. G. Kulikovskii, “Shock waves in an incompressible anisotropic elastoplastic medium with hardening and their structures”, Appl. Math. Comput., 401 (2021), 126077, 11 pp.
  37. А. Г. Куликовский, “О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов”, Докл. АН СССР, 275:6 (1984), 1349–1352
  38. A. P. Chugainova, V. A. Shargatov, “Analytical description of the structure of special discontinuities described by a generalized KdV–Burgers equation”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 66 (2019), 129–146
  39. V. A. Shargatov, A. P. Chugainova, “Stability analysis of traveling wave solutions of a generalized Korteweg–de Vries–Burgers equation with variable dissipation parameter”, J. Comput. Appl. Math., 397 (2021), 113654, 17 pp.
  40. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 44:6 (2004), 1119–1126
  41. А. Т. Ильичев, А. П. Чугайнова, В. А. Шаргатов, “Спектральная устойчивость особых разрывов”, Докл. РАН, 462:5 (2015), 512–516
  42. А. П. Чугайнова, В. А. Шаргатов, “Устойчивость структуры разрывов, описываемых обобщенным уравнением Кортевега–де Вриза–Бюргерса”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 56:2 (2016), 259–274
  43. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, В. А. Шаргатов, “Единственность автомодельных решений задачи о распаде произвольного разрыва уравнения Хопфа со сложной нелинейностью”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 56:7 (2016), 1363–1370
  44. A. P. Chugainova, A. T. Il'ichev, A. G. Kulikovskii, V. A. Shargatov, “Problem of arbitrary discontinuity disintegration for the generalized Hopf equation: selection conditions for a unique solution”, IMA J. Appl. Math., 82:3 (2017), 496–525
  45. И. М. Гельфанд, “Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений”, УМН, 14:2(86) (1959), 87–158
  46. А. А. Бармин, А. Г. Куликовский, “Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся в электомагнитном поле”, Докл. АН СССР, 178:1 (1968), 55–58
  47. А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова, “Образование анизотропной упругой среды на фронте уплотнения потока частиц”, ПММ, 79:6 (2015), 739–755
  48. О. А. Олейник, “О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения”, УМН, 14:2(86) (1959), 165–170
  49. Г. Я. Галин, “Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния”, Докл. АН СССР, 119:6 (1958), 1106–1109
  50. Г. Я. Галин, “К теории ударных волн”, Докл. АН СССР, 127:1 (1959), 55–58
  51. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Структуры разрывов в решениях уравнений, описывающих продольно-крутильные волны в упругих стержнях”, Докл. РАН. Физика, технические науки, 497:1 (2021), 49–52
  52. Е. И. Свешникова, “Волны Римана в упругой среде с малой кубической анизотропией”, ПММ, 69:1 (2005), 75–83
  53. Е. И. Свешникова, “Ударные волны в упругой среде с кубической анизотропией”, ПММ, 70:4 (2006), 673–683
  54. Л. И. Седов, Механика сплошной среды, т. 1, 4-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1983, 568 с.
  55. А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова, Нелинейные волны в упругих средах, Московский лицей, М., 1998, 412 с.
  56. А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова, “Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно упругих средах”, ПММ, 44:3 (1980), 523–534
  57. А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова, “Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде”, ПММ, 46:5 (1982), 831–840
  58. А. И. Ахиезер, Г. Я. Любарский, Р. В. Половин, “Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике”, ЖЭТФ, 35:3 (1959), 731–737

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Kulikovskii A.G., Chugainova A.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».