Left-invariant optimal control problems on Lie groups: classification and problems integrable by elementary functions

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

Left-invariant optimal control problems on Lie groups are an important class of problems with a large symmetry group. They are theoretically interesting because they can often be investigated in full and general laws can be studied by using these model problems. In particular, problems on nilpotent Lie groups provide a fundamental nilpotent approximation to general problems. Also, left-invariant problems often arise in applications such as classical and quantum mechanics, geometry, robotics, visual perception models, and image processing.The aim of this paper is to present a survey of the main concepts, methods, and results pertaining to left-invariant optimal control problems on Lie groups that can be integrated by elementary functions. The focus is on describing extremal trajectories and their optimality, the cut time and cut locus, and optimal synthesis. Questions concerning the classification of left-invariant sub-Riemannian problems on Lie groups of dimension three and four are also addressed.Bibliography: 91 titles.

作者简介

Yurii Sachkov

Ailamazyan Program Systems Institute of Russian Academy of Sciences

Email: yusachkov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

参考

  1. A. A. Agrachev, “Methods of control theory in nonholonomic geometry”, Proceedings of the international congress of mathematicians, v. 2, Birkhäuser, Basel, 1995, 1473–1483
  2. A. A. Agrachev, “Geometry of optimal control problems and Hamiltonian systems”, Nonlinear and optimal control theory, Lecture Notes in Math., 1932, Springer, Berlin, 2008, 1–59
  3. А. А. Аграчев, “Некоторые вопросы субримановой геометрии”, УМН, 71:6(432) (2016), 3–36
  4. A. Agrachev, D. Barilari, “Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups”, J. Dyn. Control Syst., 18:1 (2012), 21–44
  5. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, “On the Hausdorff volume in sub-Riemannian geometry”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 43:3-4 (2012), 355–388
  6. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From Hamiltonian viewpoint, Cambridge Stud. Adv. Math., 181, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2019, xviii+745 pp.
  7. A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka, “Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2 (1997), 377–448
  8. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.
  9. D. M. Almeida, “Sub-Riemannian symmetric spaces of Engel type”, Mat. Contemp., 17 (1999), 45–57
  10. D. M. Almeida, “Sub-Riemannian homogeneous spaces of Engel type”, J. Dyn. Control Syst., 20:2 (2014), 149–166
  11. А. А. Ардентов, И. С. Губанов, “Моделирование парковки автомобиля с прицепом вдоль путей Маркова–Дубинса и Ридса–Шеппа”, Программные системы: теория и приложения, 10:4 (2019), 97–110
  12. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 958–988
  13. D. Barilari, U. Boscain, J.-P. Gauthier, “On 2-step, corank 2 nilpotent sub-Riemannian metrics”, SIAM J. Control Optim., 50:1 (2012), 559–582
  14. L. Bates, F. Fassò, “The conjugate locus for the Euler top. I. The axisymmetric case”, Int. Math. Forum, 2:41-44 (2007), 2109–2139
  15. A. Bellaïche, J.-J. Risler (eds.), Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser Verlag, Basel, 1996, viii+393 pp.
  16. В. Н. Берестовский, “Универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной субримановой метрикой”, Сиб. матем. журн., 55:5 (2014), 959–970
  17. В. Н. Берестовский, “(Локально) кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли $operatorname{SO}_0(2,1)$”, Алгебра и анализ, 27:1 (2015), 3–22
  18. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Субриманово расстояние в группах Ли $operatorname{SU}(2)$ и $operatorname{SO}(3)$”, Матем. тр., 18:2 (2015), 3–21
  19. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Формы сфер специальных неголономных левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли”, Сиб. матем. журн., 42:4 (2001), 731–748
  20. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Геодезические и кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли ${SO}(3)$”, Сиб. матем. журн., 56:4 (2015), 762–774
  21. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Геодезические и кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли ${SL}(2)$”, Сиб. матем. журн., 57:3 (2016), 527–542
  22. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Локально изометричные накрытия группы Ли $operatorname{SO}_0(2,1)$ со специальной субримановой метрикой”, Матем. сб., 207:9 (2016), 35–56
  23. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Субриманово расстояние в группе Ли $operatorname{SO}_0(2,1)$”, Алгебра и анализ, 28:4 (2016), 62–79
  24. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Субриманово расстояние в группе Ли $operatorname{SL}(2)$”, Сиб. матем. журн., 58:1 (2017), 22–35
  25. И. Ю. Бесчастный, “Об оптимальном качении сферы с прокручиванием, без проскальзывания”, Матем. сб., 205:2 (2014), 3–38
  26. I. Beschastnyi, A. Medvedev, “Left-invariant sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability”, SIAM J. Control Optim., 2018:56, 3524–3537
  27. J.-D. Boissonat, A. Cerezo, J. Leblond, “Shortest paths of bounded curvature in the plane”, Proceedings 1992 IEEE international conference on robotics and automation (Nice, 1992), v. 3, IEEE, 1992, 2315–2320
  28. U. Boscain, T. Chambrion, J.-P. Gauthier, “On the $K+P$ problem for a three-level quantum system: optimality implies resonance”, J. Dyn. Control Syst., 8:4 (2002), 547–572
  29. U. Boscain, F. Rossi, “Invariant Carnot–Caratheodory metrics on $S^3$, $operatorname{SO}(3)$, $operatorname{SL}(2)$ and lens spaces”, SIAM J. Control Optim., 47:4 (2008), 1851–1878
  30. R. W. Brockett, “Lie theory and control systems defined on spheres”, SIAM J. Appl. Math., 25:2 (1973), 213–225
  31. R. W. Brockett, “Control theory and singular Riemannian geometry”, New directions in applied mathematics (Cleveland, OH, 1980), Springer, New York–Berlin, 1982, 11–27
  32. R. W. Brockett, “Explicitly solvable control problems with nonholonomic constraints”, Proceedings of the 38th IEEE conference on decision and control, v. 1, IEEE, 1999, 13–16
  33. R. W. Brockett, R. S. Millman, H. J. Sussmann (eds.), Differential geometric control theory (Houghton, MI, 1982), Progr. Math., 27, Birkhäuser, Boston, MA, 1983, vii+340 pp.
  34. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Cut locus and optimal synthesis in sub-Riemannian problem on the Lie group $operatorname{SH}(2)$”, J. Dyn. Control Syst., 23:1 (2017), 155–195
  35. L. Capogna, D. Danielli, S. D. Pauls, J. T. Tyson, An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem, Progr. Math., 259, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007, xvi+223 pp.
  36. Der-Chen Chang, I. Markina, A. Vasil'ev, “Sub-Riemannian geodesics on the 3-D sphere”, Complex Anal. Oper. Theory, 3:2 (2009), 361–377
  37. L. E. Dubins, “On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents”, Amer. J. Math., 79:3 (1957), 497–516
  38. E. Falbel, C. Gorodski, “Sub-Riemannian homogeneous spaces in dimensions 3 and 4”, Geom. Dedicata, 62:3 (1996), 227–252
  39. А. Ф. Филиппов, “О некоторых вопросах теории оптимального регулирования”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Матем. Мех. Астр. Физ. Хим., 1959, № 2, 25–32
  40. B. Gaveau, “Principe de moindre action, propagation de la chaleur et estimees sous elliptiques sur certains groupes nilpotents”, Acta Math., 139:1-2 (1977), 95–153
  41. В. Я. Гершкович, “Вариационная задача с неголономной связью на $operatorname{SO}(3)$”, Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах, Новое в глобальном анализе, Изд-во Воронеж. гос. ун-та, Воронеж, 1984, 149–152
  42. J. Hadamard, “Les surfaces à courbures opposees et leurs lignes geodesiques”, J. Math. Pures Appl. (5), 4 (1898), 27–73
  43. A. Isidori, Nonlinear control systems: an introduction, Lect. Notes Control Inf. Sci., 72, Springer-Verlag, Berlin, 1985, vi+297 pp.
  44. V. Jurdjevic, “The geometry of the plate-ball problem”, Arch. Rational Mech. Anal., 124:4 (1993), 305–328
  45. V. Jurdjevic, Geometric control theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 52, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xviii+492 pp.
  46. V. Jurdjevic, “Optimal control, geometry, and mechanics”, Mathematical control theory, Springer, New York, 1999, 227–267
  47. V. Jurdjevic, “Hamiltonian point of view of non-Euclidean geometry and elliptic functions”, Systems Control Lett., 43:1 (2001), 25–41
  48. V. Jurdjevic, Optimal control and geometry: integrable systems, Cambridge Stud. Adv. Math., 154, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2016, xx+415 pp.
  49. S. G. Krantz, H. R. Parks, The implicit function theorem. History, theory, and applications, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002, xii+163 pp.
  50. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 1, Механика, 5-е изд., стереотип., ФИЗМАТЛИТ, М., 2012, 224 с.
  51. E. Le Donne, R. Montgomery, A. Ottazzi, P. Pansu, D. Vittone, “Sard property for the endpoint map on some Carnot groups”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 33:6 (2016), 1639–1666
  52. Wensheng Liu, H. J. Sussman, Shortest paths for sub-Riemannian metrics on rank-two distributions, Mem. Amer. Math. Soc., 118, № 564, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, x+104 pp.
  53. А. А. Марков, “Несколько примеров решения особого рода задач о наибольших и наименьших величинах”, Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер., 1:2 (1889), 250–276
  54. F. Monroy-Perez, A. Anzaldo-Meneses, “Optimal control on the Heisenberg group”, J. Dyn. Control Syst., 5:4 (1999), 473–499
  55. F. Monroy-Perez, A. Anzaldo-Meneses, “The step-2 nilpotent $(n,n(n+1)/2)$ sub-Riemannian geometry”, J. Dyn. Control Syst., 12:2 (2006), 185–216
  56. A. Montanari, D. Morbidelli, “On the subRiemannian cut locus in a model of free two-step Carnot group”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 56:2 (2017), 36, 26 pp.
  57. R. Montgomery, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Math. Surveys Monogr., 91, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xx+259 pp.
  58. O. Myasnichenko, “Nilpotent $(3,6)$ sub-Riemannian problem”, J. Dyn. Control Syst., 8:4 (2002), 573–597
  59. O. Myasnichenko, “Nilpotent $(n,n(n+1)/2)$ sub-Riemannian problem”, J. Dyn. Control Syst., 12:1 (2006), 87–95
  60. H. Nijmeijer, A. van der Schaft, Nonlinear dynamical control systems, Springer-Verlag, New York, 1990, ix+467 pp.
  61. T. Pecsvaradi, “Optimal horizontal guidance law for aircraft in the terminal area”, IEEE Trans. Automatic Control, AC-17:6 (1972), 763–772
  62. А. В. Подобряев, “Диаметр сферы Берже”, Матем. заметки, 103:5 (2018), 779–784
  63. A. V. Podobryaev, Yu. L. Sachkov, “Cut locus of a left invariant Riemannian metric on $operatorname{SO}_3$ in the axisymmetric case”, J. Geom. Phys., 110 (2016), 436–453
  64. А. В. Подобряев, Ю. Л. Сачков, “Левоинвариантные симметричные римановы задачи на группах собственных движений плоскости Лобачевского и сферы”, Докл. РАН, 473:6 (2017), 640–642
  65. A. V. Podobryaev, Yu. L. Sachkov, “Symmetric Riemannian problem on the group of proper isometries of hyperbolic plane”, J. Dyn. Control Syst., 24:3 (2018), 391–423
  66. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961, 391 с.
  67. J. A. Reeds, L. A. Shepp, “Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards”, Pacific J. Math., 145:2 (1990), 367–393
  68. L. Rifford, Sub-Riemannian geometry and optimal transport, SpringerBriefs Math., Springer, Cham, 2014, viii+140 pp.
  69. L. Rizzi, U. Serres, “On the cut locus of free, step two Carnot groups”, Proc. Amer. Math. Soc., 145:12 (2017), 5341–5357
  70. Yu. L. Sachkov, “Symmetries of flat rank two distributions and sub-Riemannian structures”, Trans. Amer. Math. Soc., 356:2 (2004), 457–494
  71. Ю. Л. Сачков, “Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:2 (2006), 95–116
  72. Ю. Л. Сачков, Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах, Физматлит, М., 2007, 224 с.
  73. Ю. Л. Сачков, “Теория управления на группах Ли”, Оптимальное управление, СМФН, 27, РУДН, М., 2008, 5–59
  74. Ю. Л. Сачков, “Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости”, Матем. сб., 201:7 (2010), 99–120
  75. Yu. L. Sachkov, “Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17:2 (2011), 293–321
  76. Ю. Л. Сачков, Введение в геометрическую теорию управления, URSS, М., 2021, 160 с.
  77. Yu. L. Sachkov, “Conjugate time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group”, J. Dyn. Control Syst., 27:4 (2021), 709–751
  78. Ю. Л. Сачков, “Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях” (в печати)
  79. Yu. L. Sachkov, E. F. Sachkova, “Exponential mapping in Euler's elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 20:4 (2014), 443–464
  80. T. Sakai, “Cut loci of Berger's spheres”, Hokkaido Math. J., 10:1 (1981), 143–155
  81. E. D. Sontag, Mathematical control theory. Deterministic finite dimensional systems, Texts Appl. Math., 6, Springer-Verlag, New York, 1990, xiv+396 pp.
  82. P. Souères, Commande optimale et robots mobiles non holonomes, Ph.D. thesis, Univ. Paul Sabatier, Toulouse, 1993, 141 pp.
  83. P. Souères, J.-P. Laumond, “Shortest paths synthesis for a car-like robot”, IEEE Trans. Automat. Control, 41:5 (1996), 672–688
  84. H. J. Sussmann, Guoqing Tang, Shortest paths for the Reeds–Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control, Tech. rep. SYCON-91-10, Rutgers Univ., New Brunswick, NJ, 1991, 72 pp.
  85. В. М. Тихомиров, Рассказы о максимумах и минимумах, 2-е изд., испр., МЦНМО, М., 2006, 200 с.
  86. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Геодезический поток на $operatorname{SL}(2,mathbb{R})$ с неголономными ограничениями”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VIII, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 155, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1986, 7–17
  87. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные задачи и геометрия распределений”, Добавление к кн.: Ф. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление, Мир, М., 1986, 318–349
  88. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85
  89. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Геометрия неголономной сферы трехмерных групп Ли”, Геометрия и теория особенностей в нелинейных уравнениях, Новое в глобальном анализе, Изд-во Воронеж. гос. ун-та, Воронеж, 1987, 61–75
  90. Ф. Уорнер, Основы теории гладких многообразий и групп Ли, Мир, М., 1987, 304 с.
  91. М. И. Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, 4-е изд., испр., URSS, М., 2017, 160 с.

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Sachkov Y.L., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».