Renormalization in one-dimensional dynamics

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The study of dynamical and topological properties of interval exchange transformations and their natural generalisations is an important problem that is placed at the crossroad of several branches of mathematics, including dynamical systems, low-dimensional topology, algebraic geometry, number theory and geometric group theory. The current survey is focused on the systematic presentation of the results about ergodic and geometric properties of the orbits of certain one-dimensional maps. We also apply it to get information on the properties of the leaves of associated measured foliations on surfaces and 2-dimensional complexes . These results are based on the study of the properties of the renormalization processes. In each case the renormalisation can be seen as an algorithm that starts with a dynamical system and builds up an equivalent system with a smaller support set. For each class of dynamical systems that we deal with (interval exchange transformations with flips, linear involutions, interval translation maps, systems of isometries) we provide a brief description of the corresponding renormalization process. We show which properties of interval exchange transformations can be generalised and which ones change crucially. We also formulate the most challenging open problems. In the last section we provide a detailed description of the topological interpretation of the obtained results, including several applications to the Novikov's problem of asymptotic behaviour of plane sections of triply periodic surfaces.

About the authors

Alexandra Sergeevna Skripchenko

HSE University; Skolkovo Institute of Science and Technology

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. J. Aaronson, An introduction to infinite ergodic theory, Math. Surveys Monogr., 50, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, xii+284 pp.
  2. Л. М. Абрамов, В. А. Рохлин, “Энтропия косого произведения преобразований с инвариантной мерой”, Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех., астрон., 17:7 (1962), 5–13
  3. P. Arnoux, G. Rauzy, “Representation geometrique de suites de complexite $2n+1$”, Bull. Soc. Math. France, 119:2 (1991), 199–215
  4. P. Arnoux, Š. Starosta, “Rauzy gasket”, Further developments in fractals and related fields. Mathematical foundations and connections, Trends Math., Birkhäuser/Springer, New York, 2013, 1–23
  5. P. Arnoux, J.-C. Yoccoz, “Construction de diffeomorphismes pseudo-Anosov”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 292:1 (1981), 75–78
  6. M. Artigiani, Ch. Fougeron, P. Hubert, A. Skripchenko, “A note on double rotations of infinite type”, Тр. ММО, 82, no. 1, МЦНМО, М., 2021, 185–203
  7. A. Avila, V. Delecroix, Some monoids of Pisot matrices, 2015, 6 pp.
  8. A. Avila, V. Delecroix, “Weak mixing directions in non-arithmetic Veech surfaces”, J. Amer. Math. Soc., 29:4 (2016), 1167–1208
  9. A. Avila, G. Forni, “Weak mixing for interval exchange transformations and translation flows”, Ann. of Math. (2), 165:2 (2007), 637–664
  10. A. Avila, S. Gouëzel, J.-C. Yoccoz, “Exponential mixing for the Teichmüller flow”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 2006, no. 104, 143–211
  11. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “On the Hausdorff dimension of the Rauzy gasket”, Bull. Soc. Math. France, 144:3 (2016), 539–568
  12. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “Diffusion for chaotic plane sections of 3-periodic surfaces”, Invent. Math., 206:1 (2016), 109–146
  13. A. Avila, M. Viana, “Simplicity of Lyapunov spectra: proof of the Zorich–Kontsevich conjecture”, Acta Math., 198:1 (2007), 1–56
  14. M. Bestvina, M. Feighn, “Stable actions of groups on real trees”, Invent. Math., 121:2 (1995), 287–321
  15. C. Boissy, E. Lanneau, “Dynamics and geometry of the Rauzy–Veech induction for quadratic differentials”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 29:3 (2009), 767–816
  16. M. Boshernitzan, “A condition for minimal interval exchange maps to be uniquely ergodic”, Duke Math. J., 52:3 (1985), 723–752
  17. M. Boshernitzan, I. Kornfeld, “Interval translation mappings”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 15:5 (1995), 821–832
  18. H. Bruin, S. Troubetzkoy, “The Gauss map on a class of interval translation mappings”, Israel J. Math., 137 (2003), 125–148
  19. J. Buzzi, P. Hubert, “Piecewise monotone maps without periodic points: rigidity, measures and complexity”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 24:2 (2004), 383–405
  20. M. Damron, J. Fickensher, “The number of ergodic measures for transitive subshifts under the regular bispecial condition”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 42:1 (2022), 86–140
  21. C. Danthony, A. Noguiera, “Involutions lineaires et feuilletages mesures”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 307:8 (1988), 409–412
  22. R. De Leo, I. A. Dynnikov, “Geometry of plane sections of the infinite regular skew polyhedron ${4,6|4}$”, Geom. Dedicata, 138:1 (2009), 51–67
  23. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова для случая малых возмущений рациональных магнитных полей”, УМН, 47:3(285) (1992), 161–162
  24. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона”, Матем. заметки, 53:5 (1993), 57–68
  25. I. A. Dynnikov, “Semiclassical motion of the electron. A proof of the Novikov conjecture in general position and counterexamples”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 45–73
  26. И. А. Дынников, “Системы наложений отрезков и плоские сечения 3-периодических поверхностей”, Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 263, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 72–84
  27. I. Dynnikov, P. Hubert, A. Skripchenko, “Dynamical systems around the Rauzy gasket and their ergodic properties”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2023:8 (2023), 6461–6503
  28. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “On typical leaves of a measured foliated 2-complex of thin type”, Topology, geometry, integrable systems, and mathematical physics, Novikov's seminar 2012–2014, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 234, Adv. Math. Sci., 67, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 173–199
  29. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “Symmetric band complexes of thin type and chaotic sections which are not quite chaotic”, Тр. ММО, 76, no. 2, МЦНМО, М., 2015, 287–308
  30. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “Minimality of interval exchange transformations with restrictions”, J. Mod. Dyn., 11 (2017), 219–248
  31. A. Eskin, M. Mirzakhani, “Invariant and stationary measures for $operatorname{SL}(2,mathbb R)$ the action on moduli space”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 127 (2018), 95–324
  32. A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poenaru (eds.), Travaux de Thurston sur les surfaces, Seminaire Orsay, Asterisque, 66-67, Soc. Math. France, Paris, 1979, 284 pp.
  33. J. Fickenscher, “Self-inverses, Lagrangian permutations and minimal interval exchange transformations with many ergodic measures”, Commun. Contemp. Math., 16:1 (2014), 1350019, 51 pp.
  34. G. Forni, “Solutions of the cohomological equation for area-preserving flows on compact surfaces of higher genus”, Ann. of Math. (2), 146:2 (1997), 295–344
  35. Ch. Fougeron, Dynamical properties of simplicial systems and continued fraction algorithms, 2020, 60 pp.
  36. Ch. Fougeron, A. Skripchenko, “Simplicity of spectra for certain multidimensional continued fraction algorithms”, Monatsh. Math., 194:4 (2021), 767–787
  37. D. Gaboriau, “Dynamique des systèmes d'isometries: sur les bouts des orbites”, Invent. Math., 126:2 (1996), 297–318
  38. D. Gaboriau, G. Levitt, F. Paulin, “Pseudogroups of isometries of $mathbb R$ and Rips' theorem on free actions on $mathbb R$-trees”, Israel J. Math., 87:1-3 (1994), 403–428
  39. R. Gutierrez-Romo, C. Matheus, “Lower bounds on the dimension of the Rauzy gasket”, Bull. Soc. Math. France, 148:2 (2020), 321–327
  40. C. A. Hernandez, G. Soler Lopez, “Minimality and the Rauzy–Veech algorithm for interval exchange transformations with flips”, Dyn. Syst., 28:4 (2013), 539–550
  41. А. Б. Каток, “Инвариантные меры потоков на ориентируемых поверхностях”, Докл. АН СССР, 211:4 (1973), 775–778
  42. A. Katok, “Interval exchange transformations and some special flows are not mixing”, Israel J. Math., 35:4 (1980), 301–310
  43. M. Keane, “Interval exchange transformations”, Math. Z., 141 (1975), 25–31
  44. M. Keane, “Non-ergodic interval exchange transformations”, Israel J. Math., 26:2 (1977), 188–196
  45. S. P. Kerckhoff, “Simplicial systems for interval exchange maps and measured foliations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 5:2 (1985), 257–271
  46. H. B. Keynes, D. Newton, “A ‘minimal’, non-uniquely ergodic interval exchange transformation”, Math. Z., 148:2 (1976), 101–105
  47. M. Kontsevich, A. Zorich, “Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities”, Invent. Math., 153:3 (2003), 631–678
  48. J. C. Lagarias, “The quality of the Diophantine approximations found by the Jacobi–Perron algorithm and related algorithms”, Monatsh. Math., 115:4 (1993), 299–328
  49. E. Lanneau, S. Marmi, A. Skripchenko, “Cohomological equations for linear involutions”, Dyn. Syst., 36:2 (2021), 292–304
  50. G. Levitt, “La dynamique des pseudogroupes de rotations”, Invent. Math., 113:3 (1993), 633–670
  51. A. Linero Bas, G. Soler Lopez, “Minimal non uniquely ergodic IETs with flips”, J. Differential Equations, 360 (2023), 232–259
  52. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “Dynamical systems, topology, and conductivity in normal metals”, J. Statist. Phys., 115:1-2 (2004), 31–46
  53. S. Marmi, P. Moussa, J.-C. Yoccoz, “The cohomological equation for Roth-type interval exchange maps”, J. Amer. Math. Soc., 18:4 (2005), 823–872
  54. S. Marmi, P. Moussa, J.-C. Yoccoz, “Linearization of generalized interval exchange maps”, Ann. of Math. (2), 176:3 (2012), 1583–1646
  55. H. Masur, “Interval exchange transformations and measured foliations”, Ann. of Math. (2), 115:1 (1982), 169–200
  56. C. Matheus, M. Möller, J.-C. Yoccoz, “A criterion for the simplicity of the Lyapunov spectrum of square-tiled surfaces”, Invent. Math., 202:1 (2015), 333–425
  57. A. Nogueira, “Almost all interval exchange transformations with flips are nonergodic”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 9:3 (1989), 515–525
  58. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  59. M. Policott, B. Sewell, An upper bound on the dimension of the Rauzy gasket, 2023 (v1 – 2021), 14 pp.
  60. O. M. Sarig, “Thermodynamic formalism for countable Markov shifts”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 19:6 (1999), 1565–1593
  61. Е. А. Сатаев, “О числе инвариантных мер для потоков на ориентируемых поверхностях”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:4 (1975), 860–878
  62. S. Schwartzman, “Asymptotic cycles”, Ann. of Math. (2), 66:2 (1957), 270–284
  63. F. Schweiger, Multidimensional continued fractions, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, Oxford, 2000, viii+234 pp.
  64. A. Skripchenko, “On connectedness of chaotic sections of some 3-periodic surfaces”, Ann. Global Anal. Geom., 43:3 (2013), 253–271
  65. A. Skripchenko, S. Troubetzkoy, “Polygonal billiards with one sided scattering”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 65:5 (2015), 1881–1896
  66. A. Skripchenko, S. Troubetzkoy, “On the Hausdorff dimension of minimal interval exchange transformations with flips”, J. Lond. Math. Soc. (2), 97:2 (2018), 149–169
  67. J. Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds, Yale Math. Monogr., 4, Yale Univ. Press, New Haven, CT–London, 1971, v+65 pp.
  68. H. Suzuki, S. Ito, K. Aihara, “Double rotations”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 13:2 (2005), 515–532
  69. W. A. Veech, “Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps”, Ann. of Math. (2), 115:2 (1982), 201–242
  70. M. Viana, “Ergodic theory of interval exchange map”, Rev. Mat. Complut., 19:1 (2006), 7–100
  71. D. Volk, “Almost every interval translation map of three intervals is finite type”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:5 (2014), 2307–2314
  72. А. В. Зорич, “Задача С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному”, УМН, 39:5(239) (1984), 235–236
  73. A. Zorich, “Deviation for interval exchange transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 17:6 (1997), 1477–1499
  74. A. Zorich, “How do the leaves of a closed 1-form wind around a surface?”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 135–178

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Скрипченко А.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».