Формулы Вороного и задача Гаусса

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Работа содержит классические и новые результаты, касающиеся свойств остаточного члена в проблеме круга. Доказательства приведенных результатов основаны на применении различных вариантов формулы Г. Ф. Вороного. Библиография: 54 названия.

Об авторах

Дмитрий Александрович Попов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Список литературы

  1. E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, v. 2, Hierzel, Leipzig, 1927, viii+308 pp.
  2. Е. К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана, ИЛ, М., 1953, 409 с.
  3. A. Ivic, The Rieman zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, Wiley-Intersci. Publ., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1985, xvi+517 pp.
  4. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., Наука, М., 1983, 240 с.
  5. E. Krätzel, Lattice points, Math. Appl. (East European Ser.), 33, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988, 320 pp.
  6. Kai-Man Tsang, “Recent progress on the Dirichlet divisor problem and the mean square of Riemann zeta-function”, Sci. China Math., 53:9 (2010), 2561–2572
  7. Д. А. Попов, “Проблема круга и спектр оператора Лапласа на замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 74:5(449) (2019), 145–162
  8. А. Г. Постников, Введение в аналитическую теорию чисел, Наука, М., 1971, 416 с.
  9. E. Bombieri, H. Iwaniec, “On the order of $zeta(frac{1}{2}+it)$”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 13:3 (1986), 449–472
  10. S. W. Graham, G. Kolesnik, Van der Corput's method of exponential sums, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 126, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991, vi+120 pp.
  11. M. N. Huxley, Area, lattice points, and exponential sums, London Math. Soc. Monogr. (N. S.), 13, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1996, xii+494 pp.
  12. G. Kolesnik, “On the method of exponential pairs”, Acta Arith., 45:2 (1985), 115–143
  13. H. Iwaniec, C. J. Mozzochi, “On the divisor and circle problems”, J. Number Theory, 29:1 (1988), 60–93
  14. Xiaochun Li, Xuerui Yang, An improvement on Gauss's circle problem and Dirichlet's divisor problem, 2023, 32 pp.
  15. Г. Ф. Вороной, “О разложении посредством цилиндрических функций двойных сумм $sum f(pm^2+2qmn+rn^2)$, где $pm^2+2qmn+rn^2$ – положительная форма с целыми коэффициентами”, Собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952, 166–170
  16. G. H. Hardy, “On the expression of number as the sum of two squares”, Quat. J. Pure Appl. Math., 46 (1915), 263–283
  17. К. Айерлэнд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, Мир, М., 1987, 416 с.
  18. Э. Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 260 с.
  19. С. Бохнер, Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, М., 1962, 360 с.
  20. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.
  21. Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, ГИТТЛ, М., 1948, 479 с.
  22. G. H. Hardy, M. Reisz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 18, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1964, vii+78 pp.
  23. Д. А. Попов, “О спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях”, УМН, 77:1(463) (2022), 91–108
  24. G. H. Hardy, E. Landau, “The lattice points of a circle”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 105:731 (1924), 244–258
  25. К. Прахар, Распределение простых чисел, Мир, М., 1967, 511 с.
  26. К. Чандрасекхаран, Арифметические функции, Наука, М., 1975, 272 с.
  27. М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Наука, М., 1979, 831 с.
  28. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 295 с.
  29. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, рядов и произведений, 7-е изд., БХВ-Петербург, СПб., 2011, 1176 с.
  30. W. G. Nowak, “Lattice points of a circle: an improved mean-square asymptotics”, Acta Arith., 113:3 (2004), 259–272
  31. Yuk-Kam Lau, Kai-Man Tsang, “On the mean square formula of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 146:2 (2009), 277–287
  32. H. L. Montgomery, R. C. Vaughan, “Hilbert's inequality”, J. London Math. Soc. (2), 8 (1974), 73–82
  33. Kai-Man Tsang, “Higher-power moments of $Delta(x)$, $E(t)$ and $P(x)$”, Proc. London Math. Soc. (3), 65:1 (1992), 65–84
  34. Wenguang Zhai, “On higher-power moments of $Delta(x)$”, Acta Arith., 112:4 (2004), 367–395
  35. A. Ivic, “Large values of the error term in the divisor problem”, Invent. Math., 71:3 (1983), 513–520
  36. D. R. Heath-Brown, “The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 60:4 (1992), 389–415
  37. G. H. Hardy, “On Dirichlet's divisor problem”, Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 1–25
  38. G. H. Hardy, “The average order of the arithmetical functions $P(x)$ and $Delta(x)$”, Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 192–213
  39. K. S. Gangadharan, “Two classical lattice point problems”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57:4 (1961), 699–721
  40. S. Soundararajan, “Omega results for the divisor and circle problems”, Int. Math. Res. Not., 2003:36 (2003), 1987–1998
  41. D. R. Heath-Brown, K. Tsang, “Sign changes of $E(t)$, $Delta(x)$, and $P(x)$”, J. Number Theory, 49:1 (1994), 73–83
  42. М. Кац, Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, ИЛ, М., 1963, 156 с.
  43. Yuk-Kam Lau, Kai-Man Tsang, “Moments over short intervals”, Arch. Math. (Basel), 84:3 (2005), 249–257
  44. P. M. Bleher, Zheming Cheng, F. J. Dyson, J. L. Lebowitz, “Distribution of the error term for the number of lattice points inside a shifted circle”, Comm. Math. Phys., 154:3 (1993), 433–469
  45. Yuk-Kam Lau, “On the tails of the limiting distribution function of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 100:4 (2001), 329–337
  46. Д. А. Попов, “Оценки и поведение величин $P(x)$, $Delta(x)$ на коротких интервалах”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 230–246
  47. A. Ivic, P. Sargos, “On the higher moments of the error term in the divisor problem”, Illinois J. Math., 51:2 (2007), 353–377
  48. Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.
  49. O. Robert, P. Sargos, “Three-dimensional exponential sums with monomials”, J. Reine Angew. Math., 2006:591 (2006), 1–20
  50. M. Jutila, “On the divisor problem for short intervals”, Ann. Univ. Turku. Ser. A I, 1984, no. 186, 23–30
  51. A. Ivic, Wenguang Zhai, “On the Dirichlet divisor problem in short intervals”, Ramanujan J., 33:3 (2014), 447–465
  52. М. А. Королев, Д. А. Попов, “Об интеграле Ютилы в проблеме круга”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:3 (2022), 3–46
  53. A. Ivic, “On the divisor function and the Riemann zeta-function in short intervals”, Ramanujan J., 19:2 (2009), 207–224
  54. Д. А. Попов, Д. В. Сушко, “Численное исследование свойств остаточного члена в проблеме круга”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 62:12 (2022), 2002–2017

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Попов Д.А., 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».