Том 74, № 1 (2019)

Системы Морса–Смейла естественным образом возникают в приложениях при математическом моделировании процессов с регулярной динамикой (например, в цепочках связанных отображений, описывающих реакции диффузии, или при изучении топологии магнитных полей в проводящей среде, в частности при исследовании вопроса существования сепараторов в магнитных полях хорошо проводящих сред). Поскольку математические модели в форме систем Морса–Смейла появляются при описании процессов, имеющих разную природу, первым шагом в изучении таких моделей является выделение свойств, не зависящих от физического контекста, но определяющих разбиение фазового пространства на траектории. Отношение, сохраняющее разбиение на траектории с точностью до гомеоморфизма, называется топологической эквивалентностью, а отношение, сохраняющее дополнительно время движения по траекториям (непрерывное в случае потоков и дискретное в случае каскадов), называется топологической сопряженностью. Задача топологической классификации динамических систем состоит в поиске инвариантов, однозначно определяющих класс эквивалентности или сопряженности для заданной системы. Настоящий обзор посвящен изложению результатов по топологической классификации систем Морса–Смейла на замкнутых многообразиях, включая результаты, полученные авторами в последнее время. Также приведены недавние результаты авторов, относящиеся к взаимосвязи между глобальной динамикой таких систем и топологической структурой несущих многообразий. Библиография: 112 названий.

Обзор посвящен вопросам, связанным с исследованием задачи С. П. Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости с разными числами квазипериодов. Мы рассматриваем здесь историю вопроса, современное состояние исследований в данной области, а также ряд приложений данной задачи к различным физическим проблемам. Основное внимание уделяется при этом приложениям результатов, полученных в рассматриваемой области, к теории транспортных явлений в электронных системах. Библиография: 56 названий.