Том 76, № 5 (2021)

Год: 2021
Статей: 8
URL: https://journal-vniispk.ru/0042-1316/issue/view/7524

Эффективные асимптотики решений задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений

Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Шафаревич А.И.

Аннотация

Начальные данные в задаче Коши мы называем локализованными, если они задаются функциями, сосредоточенными в окрестности подмногообразия положительной коразмерности, причём размер окрестности зависит от малого параметра и вместе с ним стремится к нулю. Хотя решения линейных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с локализованными начальными данными составляют относительно узкий подкласс множества всех решений, они очень важны с точки зрения физических приложений. Такие решения возникают во многих разделах математической физики. Они описывают распространение возмущений различной природы (будь то волны цунами, вызванные подводным землетрясением, или электромагнитные волны, излучаемые антеннами), и их исследованию (в том числе асимптотическому) посвящена обширная литература. Эффективными естественно называть асимптотики, позволяющие исследовать задачу достаточно быстро и с достаточно скромными вычислительными затратами. Понятие эффективности зависит от доступного вычислительного инструментария и значительно изменилось с появлением программных систем Wolfram Mathematica, MatLab и им подобных, обеспечивающих принципиально новые возможности оперативной реализации и визуализации математических построений, но и предъявляющих к конструкции асимптотик новые требования. В статье даётся обзор современных методов построения эффективных асимптотик в задачах с локализованными начальными данными. Рассматриваемый класс уравнений и систем включает уравнения Шрёдингера и Дирака, уравнения Максвелла, линеаризованные уравнения газо- и гидродинамики, уравнения линейной теории волн на воде, теории упругости, акустики и т. д. Библиография: 109 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2021;76(5):3-80

3-80

(Rus)

(JATS XML)

Одномерные динамические системы

Ефремова Л.С., Махрова Е.Н.

Аннотация

Обзор посвящен топологической динамике отображений, заданных на одномерных континуумах, таких как отрезок, окружность, конечные графы (в том числе и конечные деревья), дендриты (локально связные континуумы, не содержащие подмножеств, гомеоморфных окружности). Исследуются взаимосвязи между периодическим поведением траекторий, существованием подковы и гомоклинических траекторий, положительностью топологической энтропии. Приведены необходимые и достаточные условия энтропийного хаоса в непрерывных отображениях отрезка, окружности, конечных графов и достаточные условия энтропийного хаоса в непрерывных отображениях дендритов. Проанализированы причины сходства и различия в свойствах отображений, заданных на указанных континуумах. Рассмотрены обобщения теоремы А. Н. Шарковского на случай некоторых разрывных отображений прямой или отрезка и непрерывных отображений в плоскости. Библиография: 207 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2021;76(5):81-146

81-146

(Rus)

(JATS XML)

Динамические эффекты, связанные с потерей устойчивости положений равновесия и периодических траекторий

Нейштадт А.И., Трещев Д.В.

Аннотация

Изучается динамическая система, зависящая от параметра $\kappa$. Предполагая, что система имеет семейство положений равновесия или периодических траекторий, гладко зависящих от $\kappa$, мы интересуемся деталями потери устойчивости, происходящей через различные бифуркации (Пуанкаре–Андронова–Хопфа, удвоения периода и т. д.). Рассматриваются две основные постановки задачи. В первой $\kappa$ постоянен и предметом анализа служит явление мягкой и жесткой потери устойчивости. Во второй постановке $\kappa$ медленно меняется со временем (случай динамической бифуркации). В простейшей ситуации мы имеем $\kappa=\varepsilon t$, где $\varepsilon$ – малый параметр. В более общем случае $\kappa(t)$ может быть решением медленного дифференциального уравнения. В случае динамической бифуркации анализ в основном сконцентрирован вокруг явления затягивания потери устойчивости.Библиография: 88 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2021;76(5):147-194

147-194

(Rus)

(JATS XML)

Виктор Абрамович Залгаллер (некролог)

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Вернер А.Л., Вершик А.М., Громов М.Л., Ибрагимов И.А., Иванов С.В., Кисляков С.В., Кутателадзе С.С., Лодкин А.А., Матиясевич Ю.В., Мнёв Н.Е., Назаров А.И., Панина Г.Ю., Решетняк Ю.Г., Рыжик В.А., Уральцева Н.Н., Элиашберг Я.М.

Успехи математических наук. 2021;76(5):195-198

195-198