Том 86, № 6 (2022)

Для каждой треугольной действительной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ построено пополнение $C^\infty_\mathfrak{g}$ ее универсальной обертывающей алгебры. Оно является действительной алгеброй Фреше–Аренса–Майкла, состоящей из элементов полиномиального роста и удовлетворяющей следующему универсальному свойству: любой гомоморфизм алгебр Ли из $\mathfrak{g}$ в действительную банахову алгебру, все элементы которой имеют полиномиальный рост, может быть продолжен до непрерывного гомоморфизма из $C^\infty_\mathfrak{g}$. Элементы $C^\infty_\mathfrak{g}$ могут быть названы функциями класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных. Доказательство опирается на теорию представлений и использует упорядоченное $C^\infty$-функциональное исчисление. Помимо общего случая мы разбираем два простых примера. В качестве вспомогательного материала развиты начала общей теории алгебр полиномиального роста. Кроме того, рассмотрены локальные варианты пополнения и показано, что в нильпотентном случае возможно построить пучок некоммутативных функций на спектре Гельфанда алгебры $C^\infty_\mathfrak{g}$. Мы также обсуждаем теорию голоморфных функций некоммутирующих переменных, предложенную Доси, и используем наши методы для доказательства теорем, усиливающих некоторые его утверждения.Библиография: 44 наименования.

Пусть $\mathfrak{X}$ – класс конечных групп, замкнутый относительно подгрупп, гомоморфных образов и расширений, и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ – число классов сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп конечной группы $G$. Естественная задача – описать с точностью до сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы данной конечной группы – не индуктивна. В частности, в образе гомоморфизма образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы, вообще говоря, не $\mathfrak{X}$-максимален. Существуют гомоморфизмы, сохраняющие число классов сопряженности максимальных $\mathfrak{X}$-подгрупп (например, гомоморфизмы, ядра которых – $\mathfrak{X}$-группы). Относительно таких гомоморфизмов образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы всегда $\mathfrak{X}$-максимален и существует естественная биекция между классами сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп образа и прообраза. В работе такие гомоморфизмы полностью описаны. Доказано, что для гомоморфизма $\phi$ из группы $G$ равенство $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{im} \phi)$ выполнено, если и только если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\ker \phi)=1$, а это, в свою очередь, равносильно тому, что композиционные факторы ядра $\phi$ принадлежат известному списку.Библиография: 25 наименований.

Пусть $\ell$ – регулярное простое нечетное число, $k$ – поле деления круга на $\ell$ частей и $K=k(\sqrt[\ell]{a} )$, где $a$ – натуральное число. В предположении, что в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки, мы изучаем $\ell$ компоненту группы классов поля $K$. Доказано,что в случае $\ell>3$ всегда существует неразветвленное расширение $\mathcal{N}/K$ такое, что $G(\mathcal{N}/K)\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$, и в расширении $\mathcal{N}/K$ вполне распадаются все простые точки, лежащие над $\ell$. В случае $\ell=3$ полностью описана возникающая здесь ситуация. Получены некоторые другие результаты.Библиография: 3 наименования.

Существует семейство $\mathcal{B}$ взаимно однозначных отображений $B \colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ с условием $B(-n) \equiv -B(n)$ такое, что для каждого $B \in \mathcal{B}$ найдется совершенное множество единственности положительной меры для $B$-переставленной тригонометрической системы $\{\exp(iB(n)x)\}$. Для некоторого более широкого класса перестановок тригонометрической системы справедливо усиленное утверждение из гипотезы Стечкина–Ульянова.Библиография: 41 наименование.

Обозначим через $\mathfrak{C}$ структуру натуральных чисел с отношением взаимной простоты. Мы доказываем, что для каждого ненулевого натурального числа $n$, если $\Pi^1_n$-множество натуральных чисел замкнуто относительно автоморфизмов $\mathfrak{C}$, то оно определимо в $\mathfrak{C}$ посредством монадической $\Pi^1_n$-формулы сигнатуры $\mathfrak{C}$ с ровно $n$ кванторами по множествам. С другой стороны, мы замечаем, что некоторые обогащения $\mathfrak{C}$ не обладают даже намного более слабой версией этого свойства.Библиография: 10 наименований.