Application of the Hereditarian Criticality Model to the Study of the Characteristics of the Seismic Process of the Kuril-Kamchatka Island Arc Subduction Zone

Full Text

Введение

В статье рассматривается приложение разработанной авторами модели критического явления [?, ?] к сейсмическому процессу. Исходя из общих свойств критических явлений: масштабной инвариантности потоков событий (скейлинг), наличия степенной расходимости характеристик вблизи критических точек и замедления динамики процесса перед взрывной активацией, в качестве статистической модели использован дробный по времени степенной составной процесс Пуассона [?]-[?]. Составной процесс Пуассона задаётся набором потоков событий различной амплитуды, а в степенном случае эти амплитуды распределены по степенному закону. Представление сейсмического процесса степенным составным процессом Пуассона хорошо известно. Наделение процесса дробными свойствами является нововведением в теории критичности, что позволяет рассмотреть влияние сочетания скейлинга и дробности на свойства процесса. Критичность этого процесса Пуассона порождается масштабной инвариантностью и усиливается эредитарностью. Скейлинг порождает расходимости в критических точках, а эредитарность процесса определяет особенности его динамики.

Нулевой, первый и второй моменты степенного распределения амплитуд потоков событий составного процесса Пуассона выражаются через частичные суммы обобщённого гармонического ряда [?]

$S_{k,p}=\underset{r=1}{\overset{k}{}}{r}^{-\left(2b+1\right)\nu +p}, p=\mathrm{0,1,2.}$ (1)

и зависят от показателя дробной производной v и параметра b. Нулевой момент степенного распределения определяет скорость распада состояний процесса Пуассона, первый – среднее, а второй – дисперсию процесса. Типы расходимостей этих статистических характеристик при $k\to \infty$ определяются критическим соотношением для значения показателя

$\left(2b+1\right)\nu -p=\mathrm{1,}$                                                     

исходя из которого могут быть найдены критические индексы

${\nu }_p=\frac{1+p}{\left(2b+1\right)}, p=\mathrm{0,1,2.}$ (2)

Таким образом, при заданном степенном распределении амплитуд потоков событий статистические характеристики процесса Пуассона расходятся в случае выполнения условия $\nu <{\nu }_p$.

Использование эредитарной модели критических явлений для описания сейсмического процесса предполагает квазистационарность и квазиоднородность распределения потоков дислокационных изменений в определенной пространственно-временной области, которые флуктуируют относительно средних значений. Эти средние значения можно рассматривать как характеристики квазистационарного и квазиоднородного сейсмического процесса. Мы исследуем неустойчивость такого процесса, рассматривая отклонения его параметров от средних характеристик. В приложении модели к сейсмическому процессу амплитуда потока событий равна отношению размера дислокации к минимальному её размеру и соотносится с частотой повторяемости сейсмических событий определённой энергии, скейлинг потоков событий определяется законом Гутенберга-Рихтера [?, ?, ?], нулевой момент степенного распределения характеризует интенсивность сейсмического процесса, первый момент определяет среднюю деформацию, а второй – среднюю энергию (мощность) процесса [?]. Предложенная модель позволяет по особенностям в соотношениях параметров скейлинга b и эредитарности v определить критические индексы ${\nu }_p$ аномальных режимов геодеформационного процесса и исследовать свойства памяти сейсмического процесса, которые влияют на критичность этого процесса.

В рамках данной работы мы детально остановимся на изложении методов обработки данных сейсмического каталога и вычисления параметров степенного составного дробного процесса Пуассона, которые позволяют сделать выводы о критических режимах сейсмического процесса в рассматриваемом регионе.

Параметр скейлинга b

Для исследования был использован каталог землетрясений Камчатского филиала единой геофизической службы ФИЦ РАН за период с  января  г. по  декабря  г. для зоны субдукции Курило-Камчатской островной дуги (область ${46}^{\circ }-{62}^{\circ }$ с.ш., ${158}^{\circ }-{174}^{\circ }$ в.д.) [?]. Объём выборки составляет $n=79282$, в каталоге представлены события энергетических классов $4.1-16.1$.

Распределение частот повторяемости событий подчиняется закону Гутенберга-Рихтера с параметрами a и b

$N={10}^{a-bM},$ (3)

где $N=N\left(m\ge M\right)$ – количество (частота) событий с магнитудами $m\ge M$, M – фиксированная магнитуда, m – магнитуды событий. В прологарифмированном виде уравнение (3) имеет линейную форму

$\text{lg}N=a-bM.$ (4)

На основании данных каталога [?] было получено распределение частот событий по энергиям и составлен эмпирический закон распределения (рис. 1a), который в прологарифмированном виде представлен на рисунке 1б. Для вычисления значений параметров закона Гутенберга-Рихтера необходимо рассматривать только линейную часть прологарифмированного эмпирического закона (рис. 1б), исходя из линейности теоретического закона (4). На основании полученных результатов можно сделать грубую оценку расположения линейной части на промежутке значений магнитуд $M\in \left[\mathrm{3,} 5\right]$ (на графиках выделено красными точками). На интервале $M<3$ появляется нелинейность и в окрестности значения $M=5$ излом линейной части.

 

Рис. 1. а) Распределение частот повторяемости событий, б) распределение логарифма частот повторяемости событий. Синий график – линейная регрессия, зелёный график – нелинейная регрессия.

[Figure 1. a) Distribution of recurrence frequencies of events, b) distribution of the logarithm of recurrence frequencies of events. The blue graph is linear regression, the green graph is nonlinear regression.]

         

Для более точного определения линейного промежутка первоначально использовали линейную аппроксимацию. Аппроксимация линейной части графика проводилась методом наименьших квадратов, исходя из минимизации ошибки аппроксимации $\epsilon$ в результате последовательного исключения событий из начала и конца промежутка $M\in \left[\mathrm{2.33,} 7.53\right]$ ($K\in \left[\mathrm{8.3,} 16.1\right]$), где значению $M=2.33$ ($K=8.3$) соответствует максимальное количество событий, а $M=7.53$ ($K=16.1$) – это максимальное значение магнитуды для рассматриваемого каталога. Для ошибки аппроксимации $\epsilon$ приняты следующие ограничения $1\text{\%}<\epsilon <10\text{\%}$, при которых получены значения параметров линейной регрессии a и b, представленные в Таблице 0 (столбец ). Теснота связи линейной регрессии оценивается с помощью значения коэффициента корреляции $R=0.9985$, близость которого к единице указывает на тесную линейную (практически функциональную) связь на промежутке аппроксимации $M\in \left[\mathrm{2.67,} 5.40\right]$ ($K\in \left[\mathrm{8.8,} 12.9\right]$) [?, ?]. Статистическая значимость уравнения регрессии (в целом) оценивается с помощью F-критерия Фишера на уровне значимости $\alpha =0.05$ со степенями свободы $k_1=m-1=1$ и $k_2=k-m=k-2$, где k – количество рассматриваемых классов на промежутке аппроксимации, m – количество параметров регрессии [?, ?]. Эмпирическое значение статистики F превышает критическое значение $\tilde{F}=F\left(\mathrm{0.05,1,42}\right)=4.08$, следовательно на заданном уровне a  уравнение линейной регрессии статистически значимо. Оценка статистической значимости параметров линейной регрессии a и b и коэффициента корреляции R проводится с помощью t-критерия Стьюдента, где критическое значение $\tilde{t}=t\left(\alpha ,k-m\right)=t\left(\mathrm{0.05,}k-2\right)$, и вычисления доверительных интервалов каждого из показателей. Выполнение условий $t_a>\tilde{t}$, $t_b>\tilde{t}$, $t_R>\tilde{t}$ подтверждает статистическую значимость параметров уравнения линейной регрессии и коэффициента корреляции на уровне значимости $\alpha =0.05$. Все найденные параметры и статистические показатели представлены в Таблице 0 (столбец ).

 

Table 1: Параметры закона Гутенберга-Рихтера и статистические показатели аппроксимирующих функций [Parameters of the Gutenberg-Richter law and statistical indices of approximating functions]

Вид аппроксимации	Линейная регрессия		Нелинейная регрессия
	$lgY=a-bX$	$Y={10}^{a-bX}$	$Y={10}^{a-bX}$	$lgY=a-bX$
1	2	3	4	5
$\left[K_1, K_2\right]$ 1	$\left[\mathrm{8.8,} 12.9\right]$		$\left[\mathrm{9.2,} 12.9\right]$
$\left[M_1, M_2\right]$ 1	$\left[\mathrm{2.67,} 5.40\right]$		$\left[\mathrm{2.93,} 5.40\right]$
.5cm Количество классов k	20cm 42		20cm 38
a	$6.525\pm 0.027$	$6.525$	$6.3815$
$t_a$	$246.75$	-	-	-
b	$0.733\pm 0.006$	$0.733$	$0.6897$
$t_b$	$113.99$	-	-	-
R	$0.9985\pm 0.0088$	$1.209$	$0.9857$	$0.8567$
$t_R$	$113.99$	-	-	-
$\tilde{t}$ 3	$2.02$	-	-	-
F	$12995$	$-126$	$1233$	$99$
$\tilde{F}$ 4	$4.08$
$\epsilon$ , %	$0.908$	$9.305$	$1.658$	$1.687$

1 Промежуток аппроксимации, 2 R – коэффициент/индекс корреляции,

3 -критеtрий Стьюдента: критическое значение $\tilde{t}=t\left(\alpha ,\tilde{k}\right)=t\left(\mathrm{0.05,}k-m\right)$,

4 F-критерий Фишера: критическое значение $\tilde{F}=F\left(\alpha ,k_1,k_2\right)=F\left(\mathrm{0.05,}m-\mathrm{1,}k-m\right)$,

где k – объём выборки, m – количество параметров регрессии ($m=2$).

Однако, если подставить в закон Гутенберга-Рихтера (3) значения параметров a и b, полученные в результате линейной аппроксимации (4), то статистические показатели, а именно, индекс корреляции $R>1$ и статистика Фишера $F<0$, не позволяют сделать вывод о статистической значимости данного уравнения и хорошем приближении эмпирических данных показательной функцией.

В связи с этим использовался иной подход: рассматривалась аппроксимация эмпирического закона распределения показательной функцией (3) (нелинейная регрессия) методом наименьших квадратов. Ориентируясь на полученные в уравнении линейной регрессии значения a и b, были определены подходящие промежутки изменения этих параметров. Значения a и b для показательной аппроксимирующей функции определялись перебором значений из этих промежутков с шагом $0.001$ на основании минимизации ошибки аппроксимации $\epsilon$ с принятым ограничением $1\text{\%}<\epsilon <10\text{\%}$ при последовательном исключении классов из начала и конца промежутка $M\in \left[\mathrm{2.33,} 7.53\right]$ ($K\in \left[\mathrm{8.3,} 16.1\right]$) и наибольшем индексе корреляции. На каждом полученном с помощью нелинейной регрессии промежутке аппроксимации также вычислялись статистические показатели для прологарифмированного эмпирического закона. Если ошибка аппроксимации $\epsilon$ линейной функцией на рассматриваемом промежутке магнитуд удовлетворяла условиям минимизации и ограничениям $1\text{\%}\le \epsilon \le 2\text{\%}$, то этот промежуток выбирался в качестве промежутка аппроксимации.

По результатам расчётов всем сформулированным выше условиям удовлетворяет промежуток $M\in \left[\mathrm{2.93,} 5.40\right]$ ($K\in \left[\mathrm{9.2,} 12.9\right]$). Объём выборки составил $22230$ событий. На выбранном промежутке аппроксимации нелинейная корреляционная связь между магнитудой M (классом K) и частотой N весьма тесная, т. к. близко к единице значение индекса корреляции $R=0.9857$. На основании F-критерия Фишера на уровне значимости $\alpha =0.05$ признаём статистическую значимость нелинейного уравнения регрессии в целом, т. к. эмпирическое значение статистики F значительно превышает критическое значение $\tilde{F}$. Значения статистических показателей приведены в Таблице 0 (столбец ). Отметим, что статистические показатели аппроксимации законом (4) позволяют сделать вывод о статистической значимости линейного уравнения ($F>\tilde{F}$) в целом (Таблица 0, столбец ).

Распределение времени ожидания первого события

Распределение вероятности времени ожидания первого события для каждого масштаба r задаётся выражением [?]:

$P\left(t\right)={\lambda }_r{t}^{\nu }{E}_{\nu ,\nu +1}\left(-{\lambda }_r{t}^{\nu }\right), {\lambda }_r={\left({\omega }_r\right)}^{\nu }, t\ge \mathrm{0,} r=\mathrm{1,} \mathrm{2,}\dots , k,$ (5)

где $E_{\nu ,\nu +1}\left(x\right)$ – функция Миттаг-Леффлёра, ${\lambda }_r$ – дробная относительная частота повторяемости событий, ${\omega }_r=\frac{N\left(m=M\right)}{n}$ – относительная частота повторяемости событий, n – объём каталога.

Для каждого из классов, которые попали в промежуток аппроксимации $M\in \left[\mathrm{2.93,} 5.40\right]$ ($K\in \left[\mathrm{9.2,} 12.9\right]$), находим эмпирический закон распределения времени ожидания первого события. Для этого из каталога выбираем события класса $K_r$. В полученной последовательности вычисляем длины $\tau$ промежутков времени между соседними событиями, находим длину наибольшего из полученных промежутков и обозначаем $T_{max}$. Промежуток $\left(\mathrm{0,} T_{max}\right]$ разбиваем на $n_r=\left[T_{max}\right]+1$ промежутков $\left(t_i, t_{i+1}\right]$ длиной  день, где $i=\left(\mathrm{0,}\dots ,\left(n_r-1\right)\right)$, $t_{i+1}=t_i+h$, шаг $h=1$ день, $t_0=0$, $\left[T_{max}\right]$ – целая часть значения $T_{max}$. Подсчитываем количество промежутков времени между соседними событиями, длины $\tau$ которых попадают на промежуток разбиения $\left(t_i, t_{i+1}\right]$. Таким образом получаем ряд распределения времени ожидания первого события и вычисляем эмпирическую функцию распределения.

Эмпирическую функцию полученного распределения времени ожидания первого события аппроксимируем функцией (5). Использовали два способа аппроксимации. В первом случае относительная частота ${\omega }_r$ повторяемости событий класса $K_r$ вычислялась на основании данных каталога, а параметр v находили методом наименьших квадратов, исходя из минимизации ошибки аппроксимации $\epsilon$. Во втором случае использовалась двухпараметрическая аппроксимация, где методом наименьших квадратов вычисляли оба параметра ${\omega }_r$ и v, исходя из минимизации ошибки аппроксимации $\epsilon$ (Таблица 1). При обработке сейсмических данных параметр $v$ приобретает определенные значения для каждого r и обозначено в Таблице 1 как ${\nu }_r$. Параметр эредитарности  вычисляется как среднее арифметическое полученных значений ${\nu }_r$.

Отметим, что точность аппроксимации при использовании двухпараметрического приближения выше. Ошибка $\epsilon$ для классов из промежутка аппроксимации в этом случае не превышает 7%, тогда как использование эмпирического значения относительной частоты ${\omega }_r$ приводит к ошибкам превышающим 10% для классов $K\ge 11.7$. Поэтому для дальнейших вычислений предпочтительней использовать результаты двухпараметрической аппроксимации, хотя полученные обоими способами значения параметра эредитарности v отличаются незначительно.

 

Table 2: Параметры распределений времени ожидания первого события [Parameters of the first-passage time distributions]

r	$K_r$	$M_r$	$n_r$	Однопараметрическая				Двухпараметрическая
				аппроксимация				аппроксимация
				$s_{min}$	${\omega }_r$	${\nu }_r$	$\epsilon , \%$	$s_{min}$	${\omega }_r$	${\nu }_r$	$\epsilon , \%$
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	9.2	2.93	57	0.102	0.135	0.961	4.71	0.025	0.182	0.891	2.33
	9.3	3.0	57	0.067	0.125	0.974	3.93	0.031	0.152	0.925	2.59
	9.4	3.07	57	0.085	0.119	0.962	4.36	0.034	0.149	0.905	2.76
	9.5	3.13	58	0.099	0.109	0.958	4.71	0.039	0.139	0.897	2.97
	9.6	3.2	62	0.105	0.101	0.959	4.71	0.033	0.129	0.895	2.64
	9.7	3.27	67	0.109	0.09	0.962	4.62	0.036	0.114	0.901	2.65
	9.8	3.33	67	0.102	0.084	0.954	4.55	0.032	0.105	0.895	2.53
	9.9	3.4	77	0.095	0.075	0.961	4.08	0.043	0.09	0.914	2.76
	10.0	3.47	71	0.108	0.071	0.955	4.65	0.063	0.083	0.907	3.54
	10.1	3.53	83	0.077	0.056	0.960	3.70	0.036	0.064	0.92	2.51
	10.2	3.6	84	0.074	0.057	0.968	3.57	0.029	0.065	0.928	2.24
	10.3	3.67	91	0.112	0.048	0.960	4.29	0.035	0.056	0.91	2.38
	10.4	3.73	93	0.245	0.045	0.932	6.31	0.045	0.06	0.849	2.7
	10.5	3.8	95	0.133	0.041	0.969	4.64	0.043	0.049	0.918	2.64
	10.6	3.87	103	0.214	0.034	0.942	5.79	0.051	0.042	0.88	2.83
	10.7	3.93	103	0.163	0.033	0.959	5.12	0.081	0.039	0.91	3.61
	10.8	4.0	107	0.257	0.027	0.922	6.53	0.089	0.034	0.858	3.83
	10.9	4.07	109	0.28	0.025	0.947	6.75	0.041	0.031	0.888	2.6
	11.0	4.13	113	0.331	0.025	0.922	7.19	0.041	0.033	0.865	3.76
	11.1	4.2	115	0.395	0.021	0.880	8.01	0.079	0.028	0.817	3.59
	11.2	4.27	112	0.357	0.018	0.907	7.97	0.059	0.023	0.852	3.25
	11.3	4.33	113	0.301	0.019	0.926	7.17	0.103	0.024	0.873	4.19
	11.4	4.4	112	0.144	0.016	0.898	5.38	0.044	0.018	0.886	4.05
	11.5	4.47	104	0.405	0.015	0.845	9.15	0.101	0.019	0.797	4.57
	11.6	4.53	100	0.225	0.012	0.936	7.27	0.141	0.013	0.91	5.75
	11.7	4.6	95	0.505	0.011	0.825	11.18	0.023	0.021	0.784	4.07
	11.8	4.67	89	0.451	0.01	0.861	10.74	0.112	0.014	0.822	5.35
	11.9	4.73	79	0.353	0.009	0.835	10.21	0.036	0.012	0.85	5.4
	12.0	4.8	76	0.529	0.008	0.803	13.1	0.055	0.012	0.818	4.22
	12.1	4.87	73	0.576	0.007	0.772	14.03	0.08	0.01	0.775	5.21
	12.2	4.93	61	0.21	0.006	0.915	9.31	0.113	0.007	0.886	6.83
	12.3	5.0	68	0.133	0.006	0.920	7.06	0.089	0.007	0.909	5.76
	12.4	5.07	65	0.666	0.006	0.751	15.45	0.04	0.01	0.766	5.95
	12.5	5.13	55	0.644	0.006	0.755	16.42	0.033	0.011	0.749	4.92
	12.6	5.2	49	0.273	0.005	0.787	12.2	0.043	0.007	0.791	6.04
	12.7	5.27	51	0.217	0.004	0.896	10.55	0.075	0.005	0.882	6.21
	12.8	5.33	47	0.108	0.004	0.880	7.92	0.051	0.005	0.858	5.46
	12.9	5.4	50	0.428	0.004	0.868	14.85	0.032	0.006	0.883	5.32
$\sum _{r=1}^k{\nu }_r$						34.386				32.964
$\nu =\frac{1}{k}\sum _{r=1}^k{\nu }_r$						0.9049				0.8675

 

Результаты и обсуждение

По результатам обработки экспериментальных данных и их закономерностей на выбранном промежутке аппроксимации $M\in \left[\mathrm{2.93,} 5.40\right]$ ($K\in \left[\mathrm{9.2,} 12.9\right]$) вычислены параметр скейлинга b и параметр эредитарности v, характеризующие дробный по времени составной степенной процесс Пуассона [?, ?, ?] с целочисленными случайными изменениями состояний на величину $r=\mathrm{1,}\dots ,k$.

Среднее арифметическое значение эредитарного параметра v – показателя дробной производной по Капуто [?, ?], составило $\nu =0.8675$, что меньше единицы. Следовательно можно сделать вывод, что рассматриваемый сейсмический процесс обладает <<памятью>>, поэтому сейсмические события нельзя считать независимыми, а распределения времени ожидания первого события (5) определяют замедленную релаксацию деформаций, что связано с упрочнением деформируемой среды и накоплением упругой энергии и может быть причиной активации сейсмического процесса.

Исходя из полученного значения параметра скейлинга $b=0.6897$, вычислены значения критических индексов (2) ${\nu }_0\approx 0.42$, ${\nu }_1\approx 0.84$, ${\nu }_2\approx 1.26$. Значение параметра эредитарности v превышает значения ${\nu }_0$ и ${\nu }_1$ и меньше ${\nu }_2$. Полученные результаты сравнения означают, что дробная скорость затухания $\text{Λ}$ сейсмического процесса и средние деформации конечны [?]. Близость значения параметра v к критическому значению ${\nu }_1$ и расходимость дисперсии говорит о том, что в накопленных деформациях и энергии могут возникать неустойчивости, которые будут проявляться в сильных флуктуациях и приводить к нестабильности сейсмического процесса и его переходу в нестационарный режим, рассмотренный в работах [?, ?]. Природу этих флуктуаций можно объяснить с помощью энергетической характеристики процесса (дисперсии), где второе слагаемое пропорционально квадрату среднего [?], а это указывает на наличие когерентных эффектов в деформациях, возникающих благодаря нелокальности процесса по времени. Иначе говоря, память процесса способствует консолидации дислокационных изменений, вследствие чего складываются не энергии, а амплитуды дислокаций. Когерентность в аномальных явлениях – это самоорганизованная критичность, обусловленная эредитарностью процесса, т. е. нелокальностью его во времени.

Дробная скорость затухания $\text{Λ}$ [день${}^{-\nu }$] сейсмического процесса конечна, т. к. $\nu >{\nu }_0$, и определяется следующим образом [?, ?, ?]

$\Lambda =\sum _{}_{r=1}^n{\lambda }_r=\sum _{}_{r=1}^n{\left({\omega }_r\right)}^{\nu }.$                                                  

Значение параметра $\text{Λ}$ на основании результатов двухпараметрической аппроксимации распределений времени ожидания первого движения (Таблица 1, столбец ) составляет $\text{Λ}=2.6401$ день${}^{-0.8675}=(3.0622/$день${)}^{0.8675}$. Тогда скорость затухания исходного и всех последующих состояний процесса равна ${\text{Λ}}^{1/\nu }=3.0622 [$день${}^{-1}]$.

Заключение

Специфика критичности определяется масштабной инвариантностью и эредитарностью. Первое свойство при рассмотрении сейсмического процесса отвечает за консолидацию масштабов дислокаций, а второе – за корреляцию событий на временных интервалах. Из выражения (1) следует зависимость критических показателей от произведения параметров b и v, что говорит о проявлении мультипликативного эффекта масштабирования и наследственности в критических явлениях. Замедление релаксаций и накопление энергии являются причиной катастрофического характера критических явлений. Запаздывающие релаксации и аномальный рост флуктуаций можно рассматривать как предвестник катастрофы, сценарий которой определяется нестационарным режимом пуассоновского процесса [?, ?].

Сейсмический процесс многообразен и может иметь множество представлений. В рамках эредитарной модели критичности рассматривается квазистационарный и квазиоднородный режим сейсмического процесса. Анализ данных каталога землетрясений для зоны субдукции Курило-Камчатской островной дуги на основе используемой модели критичности показал неустойчивость данного режима сейсмического процесса.

Обработка данных каталога показала зависимость эредитарного параметра v от масштаба $r=\mathrm{1,2,...,}k$, т. е. эредитарные свойства потоков сейсмических событий зависят от масштаба (энергии), что не учитывается используемой эредитарной моделью критичности. Полученная эмпирическая зависимость определяет пути дальнейшего обобщения модели.

About the authors

Olga V. Sheremetyeva

Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, FEB RAS

Author for correspondence.
Email: sheremeteva@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0001-9417-9731

PhD (Tech.), Research Scientist, Laboratory of Physical Process Modeling

Russian Federation, 684034 Kamchatka region, Elizovskiy district, Paratunka, Mirnaya str., 7

Boris M. Shevtsov

Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, FEB RAS

Email: bshev@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0003-0625-0361

D. Sci. (Phys. & Math.), Professor, Chief Scientific Officer, Laboratory of Electromagnetic Radiation

Russian Federation, 684034 Kamchatka region, Elizovskiy district, Paratunka, Mirnaya str., 7

References

Supplementary files