Formation of capillary-gravity waves in the flow under the influence of a system consisting of two vortices

Full Text

Введение

Волны на поверхности жидкости являются наиболее распространенным видом волновых движений, встречающимся в натурных условиях. Классификация поверхностных волн представляет собой широкий спектр [1, 2], среди которого выделим поверхностные гравитационные и капиллярные волны, которым присуща, главным образом, нелинейность [3–5]. Свободные поверхностные на поверхности жидкости образуются под воздействием силы тяжести, деформирующей поверхность жидкости, с учетом поверхностного натяжения, причем эти две причины действуют одновременно; при $\lambda \ge 10$ см преобладает сила тяжести, а в обратном случае существенный вклад вносит поверхностное натяжение. В формировании капиллярной волны ключевым параметром является поверхностное натяжение; так, например, для воды, находящейся при температуре ${20}^{\circ }C$ коэффициент поверхностного натяжения составляет $\sigma =74$ в единицах системы $CGS$.

Механизм эволюции волновых движений на свободной поверхности может быть упрощен за счет того, что динамическое воздействие ветра отсутствует, что и было, в первую очередь, выполнено работе.

Необходимо заметить, что в отличии от капиллярных и гравитационных волн, капиллярно-гравитационные волны, которые стали объектом изучения, имеют минимальную скорость, зависящую от параметров жидкости, плотности и коэффициента поверхностного натяжения. Особый интерес в изучении капиллярно-гравитационных волн связан с влиянием гравитации на их предельную форму. Так в [6–8] показано, что на вершине предельной волны скорость постоянна и равна фазовой скорости; данное свойство позволяет применить условие квазистатического приближения для определения профиля капиллярно-гравитационной волны.

Предположим, что на некоторой глубине, под свободным уровнем, находится баротропная стационарная вихревая структура (вихревой диполь) с постоянной завихренностью, которая взаимодействует с набегающим на нее течением; жидкость имеет бесконечную глубину. Такое взаимодействие может вносить определенный вклад в формирование волновых движений на поверхности жидкости, поскольку вихревой диполь будет являться преградой [2, 9, 10], которая может влиять на энергетический спектр волнового потока до преграды и после нее.

В качестве метода исследования выбран метод, предложенный М. В. Келдышем [11], для определения волновых движений жидкости бесконечной глубины. В [1] рассмотрен случай формы волновых движений свободной поверхности, когда в поток погружен одиночный точечный вихрь; отличительной особенностью нашей статьи является то, что в поток жидкости погружен вихревой симметричный диполь, скорости вращения которого являются противоположно направленными.

Физическая постановка и решение двумерной задачи

Задача. Рассмотрим идеальную однородную несжимаемую жидкость бесконечной глубины. Модельное пространство будем считать двумерным, при этом ось OX направим горизонтально, а ось OY направим вертикально вверх, ускорение свободного падения g направлено вниз. Предположим, что на некоторой глубине h под невозмущенной поверхностью жидкости находится источник возмущения, который представляет собой систему состоящую из двух точечных вихрей, расположенных симметрично относительно начала координат. На данную систему вихрей набегает поток, необходимо установить форму волн, профили волн, на невозмущенной поверхности. Примем, что при $h\to -\infty$ скорость потока принимает постоянное значение равное некоторой величине c.

Первоначально рассмотрим волновые движения, в котором присутствуют капиллярные волны. В качестве исходных уравнений используем интеграл Бернулли-Коши. Уравнение, связывающее профиль волны с потенциалом будет иметь следующий вид:

$\eta =\frac{c}{g}\frac{\partial \phi }{\partial x}+\frac{\sigma }{\rho g}\frac{d^2\eta }{d{x}^2},c\frac{d\eta }{dx}+\frac{\partial \phi }{\partial y}=\mathrm{0,}$ (1)

где $\phi (x,y)$ — потенциал скорости, $\eta (x,y)$ — профиль волновой поверхности, p — плотность среды, c — базовая основная, фазовая, скорость потока, g — ускорение свободного падения.

Далее введем соотношения между потенциалом скорости $\phi (x,y)$ и следом функции тока $\psi (x,y)$:

$\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}.$ (2)

С учетом данных соотношений (2) второе уравнение в (1) для случая свободной поверхности $y=0$ примет вид: $c\frac{d\eta }{dx}=\frac{\partial \psi }{\partial x}$.

Откуда следует, что

$\psi \left(x\right)=c\eta \left(x\right).$ (3)

 

Формула (3) представляет собой одномерный случай, связывающий след функции тока $\psi \left(x\right)$ с профилем свободной поверхности $\eta \left(x\right)$, что в дальнейшем упрощает математические расчеты решаемой задачи. Подставляя последнее равенство в первое уравнение системы (1), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее потенциал скорости и след функции тока:

$\frac{\sigma }{\rho g}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{c^2}{g}\frac{\partial \phi }{\partial x}-\psi =0.$ (4)

Далее введем характеристическую функцию $w\left(z\right)=\phi (x,y)+i\psi (x,y)$, выраженную в комплексных переменных, и продифференцируем ее дважды по переменной x, а затем перепишем (4) таким образом, чтобы получить равенство, которое имеет смысл для действительных значений комплексного переменного:

$\frac{i\sigma }{\rho g}\frac{d^{2}w}{d{z}^2}-\frac{c^2}{g}\frac{dw}{dz}-iw=0.$ (5)

Формула (5) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка применительно к характеристической функции.

С другой стороны характеристическую функцию, описывающую систему двух точечных вихрей в комплексных переменных, центр тяжести которых имеет координаты $(\mathrm{0,}-h)$, введем следующим образом:

$w\left(z\right)=\frac{i\Gamma }{2\pi }\left[\ln |z-ih|-\ln |z+ih|\right],$ (6)

где $z=x+iy$ –– алгебраическая форма комплексного числа, $\Gamma$ — общая завихренность системы двух точечных вихрей (вихревой диполь). Введем выражение для вспомогательной функции $W\left(z\right)$ с учетом (5):

$W\left(z\right)=\frac{i\sigma }{\rho g}\frac{d^{2}w}{d{z}^2}-\frac{c^2}{g}\frac{dw}{dz}-iw,$ (7)

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, p — плотность жидкости. С учетом формулы (6) преобразуем формулу (7):

$W\left(z\right)=\frac{\Gamma }{2\pi }\left[\ln |z-ih|-\ln |z+ih|\right]+\frac{i{c}^2\Gamma }{2\pi g}\left[\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih}\right]+$

$+\frac{\sigma \Gamma }{2\pi \rho g}\left[\frac{1}{{(z-ih)}^2}-\frac{1}{{(z+ih)}^2}\right].$ (8)

Будем считать, что внутри области потока жидкости существует только одно возмущение – система двух точечных вихрей, а, следовательно, функция

$G\left(z\right)=\frac{i\sigma }{\rho g}\frac{d^{2}w}{d{z}^2}-\frac{c^2}{g}\frac{dw}{dz}-iw-<\frac{\Gamma }{2\pi }\left[\ln \right|z-ih|-\ln |z+ih\left|\right]+$            

$+\frac{i{c}^2\Gamma }{2\pi g}\left[\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih}\right]+\frac{\sigma \Gamma }{2\pi \rho g}\left[\frac{1}{{(z-ih)}^2}-\frac{1}{{(z+ih)}^2}\right]>$ (9)

будет голоморфной как внутри потока, так и внутри его области, при этом действительная часть функции (8) равна нулю для действительных значений z, а действительная часть функции $G\left(z\right)$ не будет равна нулю для действительных значений комплексного числа. Тогда, на основании (9), получим дифференциальное уравнение со специальной частью правого вида в комплексных переменных:

$\frac{i\sigma }{\rho g}\frac{d^{2}w}{d{z}^2}-\frac{c^2}{g}\frac{dw}{dz}-iw=\frac{\Gamma }{\pi }\ln \left|\frac{z-ih}{z+ih}\right|+i\frac{4\sigma h\Gamma }{\pi \rho g}\frac{z}{{(z^2+h^2)}^2}.$ (10)

Решение (10) дает следующий результат:

$w\left(z\right)=\frac{i\Gamma }{\pi \sigma ({\gamma }_1-{\gamma }_2)}\{\rho g\frac{{\gamma }_1-{\gamma }_2}{{\gamma }_1{\gamma }_2}\ln \left|\frac{z-ih}{z+ih}\right|+$            

$\frac{\rho g-\sigma {\gamma }_1^2}{{\gamma }_1}\int (\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih})e^{{\gamma }_1(z-\xi )}d\xi +$                                    

$+\frac{\sigma {\gamma }_2^2-\rho g}{{\gamma }_2}(\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih})e^{{\gamma }_2(z-\xi )}d\xi \},$ (11)

где ${\gamma }_1=-\frac{i\rho c^2}{2\sigma }\left(1+\sqrt{1-\frac{4\sigma g}{\rho c^4}}\right),{\gamma }_2=-\frac{i\rho c^2}{2\sigma }\left(1-\sqrt{1-\frac{4\sigma g}{\rho c^4}}\right),{\gamma }_1-{\gamma }_2=-\frac{i\rho c^4}{\sigma }\sqrt{1-\frac{4\sigma g}{\rho c^4}}.$ Коэффициент ${\gamma }_1$ относится к волновым движениям, где ключевую роль играет капиллярность; натурные наблюдения показывают, что капиллярные волны формируются навстречу потоку перед препятствием, поэтому пределы интегрирования в первом интеграле, стоящим в фигурной скобке (11), примем от $\infty$ до z. Коэффициент ${\gamma }_2$ относится к волновым движениям за формирование которых отвечает сила тяжести, тогда пределы интегрирования во втором интеграле, стоящим в (11), следует взять от $-\infty$ до z. Следовательно, формула (10) с учетом пределов интегрирования может быть записана:

$w\left(z\right)=\frac{i\Gamma }{\pi \sigma ({\gamma }_1-{\gamma }_2)}\left\{\rho g\frac{{\gamma }_1-{\gamma }_2}{{\gamma }_1{\gamma }_2}\ln \right|\frac{z-ih}{z+ih}|+$

$\frac{\rho g-\sigma {\gamma }_1^2}{{\gamma }_1}{\int }_{\infty }^z(\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih})e^{{\gamma }_1(z-\xi )}d\xi +$                                           

$+\frac{\sigma {\gamma }_2^2-\rho g}{{\gamma }_2}{\int }_{-\infty }^z(\frac{1}{z+ih}-\frac{1}{z-ih})e^{{\gamma }_2(z-\xi )}d\xi \}.$ (12)

Затем введем обозначения: ${\gamma }_1=-i{\omega }_1$, ${\gamma }_2=-i{\omega }_2$; ${\omega }_1=\frac{2\pi c}{{\lambda }_1}$, ${\omega }_2=\frac{2\pi c}{{\lambda }_2}$ — действительные и положительные числа. Используя формулы теории интегральных вычетов [12, 13], получим асимптотические формулы решения (12) с учетом (3) для профиля свободной волновой поверхности.

Если $z=\infty$, тогда:

$\eta \left(x\right)=\frac{2\Gamma (\rho g-\sigma {\gamma }_2^2)}{\sigma c({\gamma }_1-{\gamma }_2){\gamma }_2}{e}^{-h{\omega }_2}\sin {\omega }_{2}x.$ (13)

Если $z=-\infty$, тогда:

$\eta \left(x\right)=\frac{2\Gamma (\rho g-\sigma {\gamma }_1^2)}{\sigma c({\gamma }_1-{\gamma }_2){\gamma }_1}{e}^{-h{\omega }_1}\sin {\omega }_{1}x.$ (14)

Формула (13) показывает то, что за вихревым симметричным дуплетом на свободной поверхности формируются синусоидальные волны, порождаемые силой тяжести; формула (14) показывает, что перед источником возмущений формируются волны короткого диапазона капиллярной природы.

Анализ численного решения поставленной задачи

Анализ численного решения проведем, опираясь на асимптотические решения (13), (14). На рис. 1 представлены графики зависимости профиля волн (13), формирующихся на свободной поверхности, за источником возмущения в зависимости от глубины погруженного волнового диполя.

 

Рис. 1. Зависимость профиля гравитационных волн, формирующихся за преградой, в зависимости от глубины погружения волнового диполя. Линия черного цвета - для глубины h=10; линия синего цвета - для глубины h=20; линия красного цвета - для глубины h=30.

[Figure 1. Dependence of the profile of gravitational waves formed behind an obstacle, depending on the depth of immersion of the wave dipole. Black line - for depth h=10; blue line - for depth h=20; red line - for depth h=30.]

 

Из рис. 1 видно, что с уменьшением глубины погружения источника возмущения, форма волны, возникающей за источником, стремиться к некоторому предельному значению, при этом гребень волны заостряется. Данное явление можно объяснить тем, что баротропное возмущение преобладает над суммарным давлением, атмосферным и гидродинамическим. С увеличением глубины погружения вихревого диполя наблюдается обратное явление: суммарное давление, атмосферное и гидродинамическое, начинает преобладать над баротропным давлением; гребни волн становятся более пологими. Необходимо отметить, что волны были рассмотрены одного и того же периода, чтобы было проще провести сравнение. На перепад давления на свободной поверхности оказывает влияние физико-химический состав среды жидкости; так же необходимо отметить, что перепад давления влияет на изменение кинетической энергии волновых возмущений на поверхности жидкости.

На рис. 2 представлены графики зависимости профиля волн (14), формирующихся на свободной поверхности, перед источником возмущения в зависимости от глубины погруженного волнового диполя.

 

 

Рис. 2. Зависимость профиля капиллярных волн, формирующихся перед преградой, в зависимости от глубины погружения волнового диполя. Линия черного цвета - для глубины h=0.100; линия синего цвета - для глубины h=0.101; линия красного цвета - для глубины h=0.102.

[Figure 2. Dependence of the profile of capillary waves formed in front of the barrier, depending on the depth of immersion of the wave dipole. Black line - for depth h=0.100; blue line - for depth h=0.101; red line - for depth h=0.102.]

 

Рис. 2 демонстрирует образование капиллярных волн на свободной поверхности перед источником волнового возмущения, волновой диполь, в зависимости от глубины погружения диполя. Необходимо отметить, что перепад глубин для диполя хоть и весьма несущественный, но он оказывает огромную роль на амплитуду капиллярных волн. Так, например, уменьшение глубины погружения ведет к увеличению амплитуды капиллярных волн, при уменьшении глубины на $\Delta h\approx 0.001$ амплитуда капиллярных волн увеличивается примерно в 50 раз. Ключевым моментом при формировании капиллярных волн является динамическая составляющая, возникающая от диполя. Обилие капиллярных волн на свободной поверхности перед источником возмущения напоминает некоторое подобие сулоя, то есть вода начинает “закипать”.

На рис. 3 представлены графики зависимости профиля гравитационных волн (13), формирующихся на свободной поверхности, за источником возмущения; профиль волны $\eta \left(x\right)$ представим в виде многочлена Тейлора до пятого порядка по параметру ${\omega }_2$. Глубину погружения волнового источника считаем фиксированной и равной $h=10$.

 

Рис. 3. Зависимость профиля гравитационных волн, формирующихся за преградой, в зависимости от глубины погружения волнового диполя. Линия черного цвета – линейное приближение; линия синего цвета – третье приближение; линия красного цвета – пятое приближение.

[Figure 3. Dependence of the profile of gravitational waves formed behind an obstacle, depending on the depth of immersion of the wave dipole. Black line - linear approximation; blue line - third approximation; red line - fifth approximation.]

 

Рассмотрим (13), используя ее разложение в ряд Тейлора, но ограничимся многочленом Тейлора до пятого порядка малости (если ${\lambda }_2\to \infty$, то ${\omega }_2\to 0$):

$\eta \left(x\right)=\frac{2\Gamma \left(\rho g-\sigma {\gamma }_2^2\right)}{\sigma c\left({\gamma }_1-{\gamma }_2\right){\gamma }_2}{e}^{-h{\omega }_2}\left({\omega }_{2}x-\frac{{\left({\omega }_{2}x\right)}^3}{3!}+\frac{{\left({\omega }_{2}x\right)}^5}{5!}\right).$ (15)

Фактически рис. 3 построен на основании последней формулы, а, следовательно, опираясь на разложение, можно сделать следующие ключевые выводы: во-первых, при малых расстояниях от источника возмущений профиль волны фактически линейный, приближения не вносят существенного влияния, то есть волна якобы стремиться к предельной форме; во-вторых, по мере удаления от волнового диполя начинает формироваться синусоидальный профиль волны-для третьего приближения (синяя линия) гребень является более пологим, чем для пятого приближения (красная линия). Черная линия (линейное приближение) представляет собой асимптоту для гребней синусоидальных гравитационных волн.

Заключение

Если рассматривать плоскую бегущую волну синусоидальной формы, то каждая ее частица будет двигаться по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, центр которой будет совпадать с направлением распространения волны. Поскольку радиус окружности гораздо меньше по сравнению с длиной волны, следовательно, он должен экспоненциально убывать при удалении от поверхности жидкости, что соответствует случаю (13). Анализ асимптотического решения (14) показывает, что для капиллярной составляющей волны возникает неустойчивость, обусловленная увеличением глубины погружения волнового диполя и увеличением коэффициента поверхностного натяжения жидкости, что согласуется с результатами, отраженными в работах [4, 14, 15]. Очевидно, что капиллярно-гравитационные волны играют важную роль в общей циркуляции водной поверхности, затухание и обрушение более длинных волн, газообмен и перемешивание в верхнем слое, кинематике поверхностных взвесей, а следовательно, требуют дополнительного изучения.

About the authors

Igor A. Pastukhov

Immanuel Kant Baltic Federal University

Author for correspondence.
Email: paigor@stud.kantiana.ru
ORCID iD: 0009-0006-0925-9686

Postgraduate student in the field of ”Physics of Condensed Matter”, research assistant

Russian Federation, 236041, Kaliningrad, st. A. Nevsky, 14

Aleksey I. Rudenko

Kaliningrad State Technical University

Email: paigor@stud.kantiana.ru
ORCID iD: 0000-0002-5666-9841

Ph.D.(Phys. and Math.), Associate Professor, Dep. of Applied Mathematics and Information Technology

Russian Federation, 236022, Kaliningrad, Sovetsky Ave., 1

References

Supplementary files