Anomalous diffusion with memory in criticality theory

Full Text

Введение

Понятие критических явлений как аномалий, наблюдаемых в фазовых переходах, стало использоваться в исследованиях процессов пластических деформаций, разрушений, турбулентности, распространения волн в резонансных средах и т.д., общие свойства которых $–$ нелинейность, резонансный характер и скейлинг (масштабная инвариантность, свойственная фрактальным средам). Понятие аномалий используется также в теории катастроф и физике предвестников землетрясений, в которых внезапные изменения состояний очень похожи на фазовые переходы. В связи с расширением понятия критических явлений, их методы исследования требуют обобщений и развития.

Критические явления в квантовых системах имеют многочисленные классические аналоги. Для их описания с учетом масштабной инвариантности используются статистические, дробные и фрактальные подходы. Исследуется роль эффектов памяти, пространственной дисперсии, нестационарности и неоднородности процессов. Большое внимание уделяется резонансным эффектам.

Скейлинг играет очень важную роль в формировании критических явлений. Но, как было показано на примере процесса Пуассона [1], не менее важную роль играют свойства памяти процесса. На ряду с этим представляет интерес исследовать роль пространственных эффектов, т.е. пространственной дисперсии (нелокальности). Это можно сделать на примере аномальной диффузии [2, 3], которая обладает пространственной дисперсией, а в более общем случае и свойствами памяти.

Аномальная диффузия используется для статистического писания систем вблизи фазового перехода [4] и адвекции частиц в конвективных течениях [5]. В [6] вместо термина аномальной диффузии используется понятие "странная кинетика", особенности которой, называемые полетами Леви, рассматривались в [7-10]. Целью наших исследований будут критические режимы и индексы этого процесса, ответственные за возникновение аномальных явлений.

Аномальная диффузия с памятью

Уравнение эредитарной и аномальной диффузии [2] для функции плотности вероятности P(x<, t) записывается в дробных производных Римана-Лиувилля следующим образом:

$\frac{{\partial }^{\beta }P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^{\beta }}\mathrm{<mo>=</mo>}D\frac{{\partial }^{\alpha }P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^{\alpha }}\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{0<mo><</mo>}\beta \le \mathrm{1,}\mathrm{1<mo><</mo>}\alpha \le \mathrm{2,}$ (1)

где δ(x) $–$ дельта-функция Дирака, D $–$ коэффициент диффузии.

При $\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \le 1$ уравнение (1) переходит в уравнение адвекции. Предполагая смену типа волновых движений при значении параметра дробности $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}$, будем полагать $\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \le 2$. Этот случай интересен тем, что значение $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}$ является критическим. Другой случай, когда имеют место одновременно диффузия и адвекция, будет рассмотрен отдельно.

Не менее интересен случай, когда параметр β, увеличиваясь в пределах <0 < β ≤ <2, переходит через значение β = <1. При этом уравнение диффузии переходит в волновое уравнение, а затухающие решения уравнения (1) приобретают еще и колебательный характер. Значение β = <1 также можно рассматривать как критическое, а переход через него можно учесть в конечных решениях.

Решим уравнение (1) с помощью преобразования Фурье

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}dq{e}^{-iqx}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (2)

где P(q<, t) $–$ характеристическая функция распределения P(x<, t). С учетом начального условия $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ начальным условием для $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Согласно (1) и (2), уравнением для характеристической функции будет:

$\frac{{\partial }^{\beta }P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^{\beta }}\mathrm{<mo>=</mo>}D{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>1,}$ (3)

решением которого будет:

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{E}_{\beta }\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }{D}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }t\right)\mathrm{,}$ (4)

где $E_{\rho }\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{z^k}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\rho k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $–$ функция Миттаг-Леффлера, $0\le \rho \mathrm{<mo><</mo>}\infty$, $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $–$ Гамма-функция.

С учётом (2) и (4) для функции плотности вероятности получаем:

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}dq{e}^{-iqx}{E}_{\beta }\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }{D}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }t\right)\mathrm{.}$ (5)

Найденное решение для процесса аномальной диффузии P(x<, t) $–$ это обратное преобразование Фурье сложной функции Миттаг-Леффлера от степенного аргумента ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }$ с безразмерным масштабным множителем $D^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }t$.

Параметр β задает память процесса, α определяет его пространственную дисперсию, а $D^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }$ $–$ скорость диффузии или адвекции в зависимости от значения $\alpha$. Вместе они задают дисперсионное соотношение процесса ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-i\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\beta }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }D$, которое можно получить преобразованием Фурье выражения (3) по времени.

Распределение P(x<, t) $–$ это расплывающийся "колокол" при <0 ≤ t и сжимающийся при t ≤ <0 (второй случай предполагает реверс процесса диффузии во времени). Первое дает описание диффузии в равновесной среде, а второе представляет процесс обратной диффузии, самоорганизации или консолидации в инвертированной среде, например, в деформированной энергонасыщенной, в которой возникает последовательность форшоков, завершающаяся главным ударом при t = <0. При <0 ≤ t распределение P(x<, t) представляет аномальную дробную диффузию последовательности афтершоков. Начальным при <0 ≤ t и конечным при t≤<0 условием для P(x<, t) в момент t=<0 будет δ(x) $–$ дельта-функция Дирака.

При β = <1 распределение P(x<, t) становится распределением Леви [2-5], которое переходит при α = <2 в распределение Гаусса, при α = <1.5 в распределение Леви-Смирнова $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}exp\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo>/</mo>2}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{x}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}$, а при α = <1 в распределение Коши (у физиков $–$ это распределение Лоренца).

Критические индексы

Особенность распределения P(x<, t) в том, что оно имеют степенные крылья, благодаря которым обращаются в бесконечность статистические моменты степени выше некоего критического значения, определенного соотношением параметров α = <2 и β = <1. Такое поведение статистических моментов можно использовать для классификации критических режимов процесса P(x<, t).

За поведение P(x<, t) при больших $x$ отвечают малые значения q. В связи с этим, согласно соотношению qx< << 1, можно в асимптотическом разложении (4) и (5) оставить только два первых слагаемых, положить $e^{-iqx}\approx 1$ и ограничить пределы интегрирования величиной <1/x. В результате получим:

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim \delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{D^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }t}{2\pi \Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{-\mathrm{1<mo>/</mo>}x}{\overset{\mathrm{1<mo>/</mo>}x}{\int }}}dq{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-iq\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }+\mathrm{...,}x\to \infty \mathrm{,}$ (6)

где δ(x) $–$ дельта-функция Дирака.

Для крыльев распределения $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, вычисляя интеграл в (6), находим асимптотику:

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim \frac{D^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\beta }t}{\pi \Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{cos\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \alpha \mathrm{<mo>/</mo>2}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }\frac{1}{x^{1+\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }}+\dots \mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{.}$ (7)

Согласно асимптотике $\mathrm{1<mo>/</mo>}{x}^{1+\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta }$ (7), моменты $\mathrm{<mo><</mo>}{x}^{\mu }\mathrm{<mo>></mo>}$ распределения $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $\mu \mathrm{<mo>></mo>}\alpha \mathrm{<mo>/</mo>}\beta$ обращаются в бесконечность. Отсутствие второго момента у распределения указывает на сильные флуктуации в системе, отсутствие первого момента соответствует неограниченному значению статистического среднего изменений в системе, что можно интерпретировать как катастрофические разрушения, а бесконечность нулевого момента может указывать на ненормируемость распределения P(x<, t), которое можно понимать лишь в смысле обобщенных функций. Такая исключительная ситуация в системе может указывать на ее неустойчивостью, однако катастрофа такого типа не наступает, поскольку для критических значений индексов мы получаем K = α

Смена режимов процесса зависит от α

Асимптотики эволюции моментов и фрактальная размерность процесса

Асимптотики эволюции моментов $\mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}{x}^{\alpha }\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo><mo>=</mo>}const\cdot t^{\beta }$ дробного диффузионного процесса рассматривались в [17]. Используя эти асимптотики, можно найти фрактальную размерность процесса $d\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\epsilon \to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ϵ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Принимая в качестве меры процесса дробный аналог среднеквадратического $\mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}{x}^{\alpha }{\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}const{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }{t}^{\beta \mathrm{<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{ϵ}$ и выбирая в качестве диаметра покрытия t = ε, получим d = β

Принимая во внимание, что фрактальная размерность процесса равна обратным индексам критичности d = <1/K = β

Надо отметить, что структурная перестройка процесса, связанная с изменением его фрактальной размерности, происходит при тех же значениях критических индексов, что и изменения в режимах процесса, связанные с обращением его моментов в бесконечность. При этих же значениях критических индексов происходят изменения в дисперсионных соотношениях и резонансных эффектах. Таким образом свойства процесса и среды связаны и согласованы между собой через значения критических индексов.

Результаты

Рассмотрена возможность использования аномальной диффузии с адвекцией и памятью в теориях критичности и фазовых переходов. Получена зависимость критических индексов процесса от параметров дробности аномальной эредитарной диффузии. Показана возможность возникновения резонансов в процессах аномальной диффузии и адвекции с памятью. Предложено обобщение полученных результатов на дробный волновой процесс. Сделан вывод о том, что диффузионный или волновой резонансы являются причиной перенормировки источников (зарядов) процесса и возникновения аномалий. Предложена модель нестационарной и неоднородной аномальной диффузии и адвекции с памятью для описания цепных реакций, взрывных процессов, форшоковых и афтершоковых последовательностей, а также пространственных неоднородностей процесса степенного типа, которые возникают в преддверии активизации процесса. Установлена связь фрактальной размерности диффузионного процесса с его критическими индексами, дисперсионными и резонансными свойствами среды и перенормировкой источников процесса.

Заключение

Представленная многопараметрическая модель дробной диффузии была разработана в развитие идей, предложенных в статье [1], для описания аномальных явлений, возникающих в сложных деформационных процессах, сопровождающихся генерацией акустической и электромагнитной эмиссии. Особое внимание было уделено роли критических индексов, пространственной дисперсии и резонансных эффектов в структурных изменениях процесса и его взаимодействия со средой. Обладая определенной универсальностью, основанной на свойствах степенных законов, эта модель может найти широкое применение в различных областях физики для описания критических явлений.

About the authors

Boris Mikhailovich Shevtsov

Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS

Author for correspondence.
Email: bshev@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0003-0625-0361

Sci. (Phys. & Math.), Professor, Major Researcher, Electromagnetic Radiation Laboratory

Russian Federation, 684034, Kamchatka Krai, Paratunka village, Mirnaya str., 7

Olga V. Sheremetyeva

Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS

Email: bshev@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0001-9417-9731

Ph. D. (Tech.), Research Scientist, Laboratory of Physical Process Modeling

Russian Federation, 684034, Kamchatka Krai, Paratunka village, Mirnaya str., 7

References

Supplementary files