Том 27, № 4 (2025)

Проводится модификация материнского кубического сплайна Шенберга с помощью четырех кубических сплайнов Шенберга, имеющих конечные носители, размеры которых меньше по сравнению с размером конечного носителя материнского сплайна. В результате построены восемь сеточных наборов ортогональных кубических сплайнов Шенберга, имеющих действительные значения. Доказана теорема о порядке аппроксимации любой функции пространства Соболева линейными комбинациями построенных ортогональных кубических сплайнов Шенберга. Показано, что порядок аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными также сплайнами Шенберга, существенно выше по сравнению с порядком аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными ступенчатыми функциями, и совпадает с порядком аппроксимации классическими кубическими сплайнами Шенберга. Дефект модифицированного сплайна Шенберга равен единице, как у классического сплайна Шенберга. Модифицированный сплайн является непрерывной функцией, у которой в точках сопряжения друг с другом частей материнского сплайна и частей сплайнов, используемых для модификации, нет разрывов также первой и второй производных. 

При расчете на прочность элементов строительных конструкций одним из этапов является исследование динамики этих элементов при различных силовых нагрузках. В данной работе на основе классической модели свободных колебаний упругой пластины, в отличие от проведенных ранее численно-аналитических исследований, разрабатывается аналитический метод исследования динамики шарнирно закрепленной по краям бетонной плиты. Согласно методу Галеркина приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных, используемого в модели, отыскивается в виде линейной комбинации базисных функций. В результате получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов этой комбинации. На основе построения функционала типа Ляпунова для дифференциального уравнения в частных производных и функции Ляпунова для системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложено несколько способов определения погрешности полученного приближенного решения. На основе численных расчетов показана точность полученных оценок этой погрешности. Для этого построены графики разности исследуемого приближения и приближения высшего порядка. Наилучшую оценку показал способ определения погрешности с помощью следующей базисной функции, коэффициент при которой найден из уравнения, полученного на основе исследования функционала типа Ляпунова для исходного дифференциального уравнения в частных производных.

Работа посвящена математическому моделированию вентиляционных систем, состоящих из деформируемых воздуховодов, через которые подается поток воздуха. На основе построенной трехмерной математической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений в частных производных, в работе исследуется динамическая устойчивость упругой стенки воздуховода, через который подается поток газа. В качестве критерия устойчивости используется критерий динамической устойчивости по Ляпунову, когда малым деформациям упругой стенки в начальный момент времени соответствуют и малые деформации в последующие моменты времени. Для исследования устойчивости в задачах аэрогидроупругости в моделях сжимаемой и несжимаемой среды построены функционалы типа Ляпунова для полученных систем дифференциальных уравнений. На основе исследования этих функционалов получены условия устойчивости. Эти условия обеспечивают положительность функционала и отрицательность его производной по времени. Для модели сжимаемой среды построена зависимость сжимающего пластину продольного усилия от скорости протекающего потока воздуха для конкретных параметров механической системы. С помощью построенного графика проведено сравнение условий устойчивости для моделей сжимаемой и несжимаемой среды. Показано, что сжимаемость среды оказывает негативное влияние на устойчивость деформируемой стенки воздуховода и приводит к уменьшению области устойчивости.