Morse-Smale Systems and Topological Structure of Supporting Manifolds


Citar

Texto integral

Resumo

In this paper, we review the results describing the connection between the global dynamics of Morse-Smale systems on closed manifolds and the topology of supporting manifolds. Also we consider the results related to topological classification of Morse-Smale systems.

Sobre autores

V. Grines

NRU HSE; NNSU

Email: vgrines@yandex.ru
603155, Nizhniy Novgorod, ul. Bolshaya Pecherskaya, 25/12; 603950, Nizhniy Novgorod, pr. Gagarina, 23

Ye. Zhuzhoma

NRU HSE

Email: zhuzhoma.ev@mail.ru
603155, Nizhniy Novgorod, ul. Bolshaya Pecherskaya, 25/12

O. Pochinka

NRU HSE

Email: olga-pochinka@yandex.ru
603155, Nizhniy Novgorod, ul. Bolshaya Pecherskaya, 25/12

Bibliografia

  1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.
  2. Андpонов А. А., Понтpягин Л. С. Грубые системы// Докл. АН СССP. - 1937. - 14, № 5. - С. 247-250.
  3. Аносов Д. В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны// Докл. АН СССР. - 1962. - 145, № 4. - С. 707-709.
  4. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН. - 1967. - 90.
  5. Аpансон С. Х. Тpаектоpии на неоpиентиpуемых двумеpных многообpазиях// Мат. сб. - 1969. - 80, № 3. - С. 314-333.
  6. Арансон С. Х., Медведев В. С. Регулярные компоненты гомеоморфизмов n-мерной сферы// Мат. сб. - 1971. - 85. - С. 3-17.
  7. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1973. - 28. - С. 181-214.
  8. Безденежных А. Н., Гринес В. З. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий// В сб.: «Дифференциальные и интегральные уравнения». - ГГУ: Горький, 1985. - С. 33-37.
  9. Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. I// В сб.: «Методы КТДУ». - Горький, 1985. - С. 22-38.
  10. Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. II// В сб.: «Методы КТДУ». - Горький, 1987. - С. 24-32.
  11. Бонатти Х., Гринес В. З., Медведев В. С., Пеку Е. О топологической классификации градиентноподобных диффеоморфизмов без гетероклинических кривых на трехмерных многообразиях// Докл. РАН. - 2001. - 377, № 2. - С. 151-155.
  12. Бонатти Х., Гринес В. З., Медведев В. С., Пеку Е. О диффеоморфизмах Морса-Смейла без гетероклинических пересечений на трехмерных многообразиях// Тр. МИАН. - 2002. - 236. - С. 66-78.
  13. Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях// Тр. МИАН. - 2005. - 250. - С. 5-53.
  14. Гринес В. З. Топологическая классификация диффеомоpфизмов Моpса-Смейла с конечным множеством гетеpоклинических тpаектоpий на повеpхностях// Мат. заметки. - 1993. - 54. - С. 3-17.
  15. Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - С. 20-35.
  16. Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. Новые соотношения для потоков и диффеоморфизмов Морса-Смейла// Докл. РАН. - 2002. - 382, № 6. - С. 730-733.
  17. Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. Новые соотношения для систем Морса-Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами// Мат. сб. - 2003. - 194, № 7. - С. 25-56.
  18. Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. О диффеоморфизмах Морса-Смейла с четырьмя периодическими точками на замкнутых ориентируемых многообразиях// Мат. заметки. - 2003. - 74, № 3. - С. 369-386.
  19. Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - С. 111-133.
  20. Гринес В. З., Капкаева С. X., Починка О. В. Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб. - 2014. - 205, № 10. - С. 19-46.
  21. Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три. - Москва-Ижевск, 2011.
  22. Гробман Д. М. О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. - 1959. - 128, № 5. - С. 880-881.
  23. Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве// Мат. сб. - 1962. - 56, № 1. - С. 77-94.
  24. Гуревич Е. Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей 3// Труды Средневолжского мат. об-ва. - 2003. - 5, № 1. - С. 161-165.
  25. Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О многообразиях размерности n, допускающих диффеоморфизмы с седловыми точками индексов 1 и n - 1// Труды Средневолжского мат. об-ва. - 2006. - 8, № 1. - С. 204- 208.
  26. Жужома Е. В., Медведев В. С. Системы Морса-Смейла с тремя неблуждающими точками// Докл. РАН. - 2011. - 440, №1. - С. 11-14.
  27. Леонтович Е. А., Майеp А. Г. О тpаектоpиях, опpеделяющих качественную стpуктуpу pазбиения сфеpы на тpаектоpии// Докл. АН СССP. - 1937. - 14, № 5. - С. 251-257.
  28. Леонтович Е. А., Майеp А. Г. О схеме, опpеделяющей топологическую стpуктуpу pазбиения на тpаектоpии// Докл. АН СССP. - 1955. - 103, № 4. - С. 557-560.
  29. Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность// Ученые записки Горьк. гос. ун-та. - 1939. - 12. - С. 215-229.
  30. Матвеев С. В. Классификация достаточно больших трехмерных многообразий// Усп. мат. наук. - 1997. - 52, № 5. - С. 147-174.
  31. Медведев В. С., Жужома Е. В. Непрерывные потоки Морса-Смейла с тремя состояниями равновесия// Мат. сб. - принято к печати.
  32. Митрякова Т. М., Починка О. В. О необходимых и достаточных условиях топологической сопряженности диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания. Дифференциальные уравнения и динамические системы// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - С. 198-219.
  33. Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях// Мат. сб. - 1998. - 189, № 8. - С. 93-140.
  34. Плисс В. А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе// Вестн. ЛГУ. Cер. Мат. - 1960. - 13. - С. 15-23.
  35. Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3многообразиях// Докл. АН СССР. - 2011. - 440, № 6. - С. 34-37.
  36. Пришляк А. Векторные поля Морса-Смейла без замкнутых траекторий на трехмерных многообразиях// Мат. заметки. - 2002. - 71, № 2. - С. 230-235.
  37. Синай Я. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 2, № 1. - С. 64-89.
  38. Синай Я. Г. Построение марковских разбиений// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 2, № 3. - С. 70-80.
  39. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы// Усп. мат. наук. - 1970. - 25, № 1. - С. 113- 185.
  40. Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий// Мат. сб. - 1990. - 181, № 2. - С. 212-239.
  41. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. - М.: Наука, 1989.
  42. Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma E.Introduction to qualitative theory of dynamical systems on closed surfaces. - Providence: Am. Math. Soc., 1996.
  43. Artin E., Fox R. H. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49. - С. 979-990.
  44. Asimov D. Round handles and non-singular Morse-Smale flows// Ann. Math. - 1975. - 102. - С. 41-54.
  45. Asimov D. Homotopy of non-singular vector fields to structurally stable ones// Ann. Math. - 1975. - 102. - С. 55-65.
  46. Batterson S. The dynamics of Morse-Smale diffeomorphisms on the torus// Trans. Am. Math. Soc. - 1979. - 256. - С. 395-403.
  47. Batterson S. Orientation reversing Morse-Smale diffeomorphisms on the torus// Trans. Am. Math. Soc. - 1981. - 264. - С. 29-37.
  48. Batterson S., Handel M., Narasimhan C. Orientation reversing Morse-Smale diffeomorphisms of S2// Invent. Math. - 1981. - 64. - С. 345-356.
  49. Be´guin F. Smale diffeomorphisms of surfaces: an algorithm for the conjugacy problem. - Preprint, 1999.
  50. Bin Yu. Behavior 0 nonsingular Morse-Smale flows on S3// Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2016. - 36, № 1. - С. 509-540.
  51. Blanchard P., Franks J. The dynamical complexity of orientation reversing homeomorphisms of surfaces// Invent. Math. - 1980. - 62. - С. 333-339.
  52. Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3// Journal of Dynamical and Control Systems. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.
  53. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Three-dimensional manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves// Topology and Appl. - 2002. - 117. - С. 335-344.
  54. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds// Topology. - 2004. - 43. - С. 369-391.
  55. Bonatti Ch., Grines V., Pochinka O. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with the chain of saddles on 3-manifolds// В сб.: «Foliations 2005». - Singapore: World Scientific, 2006. - С. 121--147.
  56. Bonatti Ch., Langevin R. Diffe´omorphismes de Smale des surfaces. - Socie´te´ Mathe´matique de France, 1998.
  57. Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms// Transactions of the American. Math. Soc. - 1971. - 154. - С. 337-397.
  58. Cantrell J. C., Edwards C. H. Almost locally polyhedral curves in Euclidean n-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1963. - 107. - С. 451-457.
  59. Cobham A. The intrinsic computational difficulty of functions// International Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science, North-Holland, Amsterdam. - 1964. - С. 24-30.
  60. Debrunner H., Fox R. A mildly wild imbedding of an n-frame// Duke Math. Journal. - 1960. - 27. - С. 425-429.
  61. Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three// Bol. Soc. Mat. Brasil. - 1975. - 2, № 6. - С. 155-183.
  62. Franks J. Some maps with infinitely many hyperbolic periodic points// Trans. Am. Math. Soc. - 1977. - 226. - С. 175-179.
  63. Franks J. The periodic structure of non-singular Morse-Smale flows// Comment. Math. Helv. - 1978. - 53. - С. 279-294.
  64. Franks J. M. Homology and dynamical systems. - Am. Math. Soc., 1982.
  65. Grines V., Gurevich E., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersection//j. Math. Sci. (N. Y.) - 2015. - 208, № 1. - С. 81-91.
  66. Grines V., Malyshev D., Pochinka O., Zinina S. Efficient algorithms for the recognition of topologically conjugate gradient-like diffeomorphisms// Regul. Chaotic Dyn. - 2016. - 21, No 2. - С. 189-203.
  67. Grines V., Medvedev T., Pochinka O., Zhuzhoma E. On heteroclinic separators of magnetic fields in electrically conducting fluids// Phys. D. - 2015. - 294. - С. 1-5.
  68. Gutierrez C. Structural stability for flows on the torus with a cross-cap// Trans. Am. Math. Soc. - 1978. - 241. - С. 311-320.
  69. Handel M. The entropy of orientation reversing homeomorphisms of surfaces// Topology. - 1982. - 21. - С. 291-296.
  70. Harrold O. G., Griffith H. C., Posey E. E. A characterization of tame curves in three-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1955. - 79. - С. 12-34.
  71. Hartman P. On the local linearization of differential equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1963. - 14, № 4. - С. 568-573.
  72. Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1977.
  73. Markley N. G. The Poincare-Bendixon theorem for the Klein bottle// Trans. Am. Math. Soc. - 1969. - 135. - С. 159-165.
  74. Medvedev V., Zhuzhoma E. Morse-Smale systems with few non-wandering points// Topology Appl. - 2013. - 160, № 3. - С. 498-507.
  75. Morgan J. W. Non-singular Morse-Smale flows on 3-dimensional manifolds// Topology. - 1979. - 18. - С. 41-53.
  76. Morse M. Calculus of variations in the large. - New York: Interscience Publ., 1934.
  77. Narasimhan C. The periodic behavior of Morse-Smale diffeomorphisms on compact surfaces// Trans. Am. Math. Soc. - 1979. - 248. - С. 145-169.
  78. Nikolaev I. Graphs and flows on surfaces// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1998. - 18. - С. 207-220.
  79. Nikolaev I., Zhuzhoma E. Flows on 2-dimensional manifolds. - Berlin: Springer, 1999.
  80. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems// Topology. - 1969. - 8, № 4. - С. 385-404.
  81. Palis J., Smale S. Structural stability theorems// Global Analysis. Proc. Sympos. Pure Math. - 1970. - 14. - С. 223-231.
  82. Peixoto M. M. On structural stability// Ann. Math. - 1959. - 69. - С. 199-222.
  83. Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds// Topology. - 1962. - 1. - С. 101-120.
  84. Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds. A further remark// Topology. - 1963. - 2. - С. 179-180.
  85. Peixoto M. M. On a classification of flows on 2-manifolds// Proc. Symp. Dyn. Syst. Salvador. - 1973. - С. 389-492.
  86. Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16. - С. 167-172.
  87. Sasano K. Links of closed orbits of non-singular Morse-Smale flows// Proc. Am. Math. Soc. - 1983. - 88. - С. 727-734.
  88. Shub M. Morse-Smale diffeomorphisms are unipotent on homology// Dynamical Syst., Proc. Sympos. Univ. Bahia, Salvador, 1971. - 1973. - С. 489-491.
  89. Shub M., Sullivan D. Homology theory and dynamical systems// Topology. - 1975. - 4. - С. 109-132.
  90. Smale S. Morse inequalities for a dynamical system// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 43-49.
  91. Smale S. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 485-488.
  92. Smale S. On gradient dynamical systems// Ann. Math. - 1961. - 74. - С. 199-206.
  93. Smale S. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four// Ann. Math. - 1961. - 74. - С. 391-406.
  94. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points// Differ. and Combinat. Topology, Sympos. Marston Morse, Princeton. - 1965. - С. 63-80.
  95. Wada M. Closed orbits of non-singular Morse-Smale flows on S3//j. Math. Soc. Jpn. - 1989. - 41. - С. 405-413.
  96. Wang X. The C∗-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1990. - 10. - С. 565-597.
  97. Yano K. A note on non-singular Morse-Smale flows on S3// Proc. Jpn Acad. Ser. A Math. Sci. - 1982. - 58. - С. 447-450.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».