О хроматических числах целочисленных и рациональных решеток

Аннотация

В настоящей работе мы приводим новые верхние оценки для хроматических чисел целочисленных, рациональных и некоторых других решеток. В частности, в работе доказано, что для каждого конкретного целого числа \(d\) хроматическое число для \(Z^{n}\) с критическим расстоянием \(\sqrt{2d}\) имеет полиномиальный рост с ростом \(n,\) причем показатель не превосходит \(d\) (иногда эта оценка является точной). То же самое верно не только для случая евклидовых норм, но также и для любых \(l_{p}\)-норм. Кроме того, мы приводим конкретные оценки для малых размерностей, а также некоторые верхние оценки для хроматических чисел для пространств \(Q_{p}^{n},\) где через \(Q_{p}\) мы обозначаем кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на некоторое простое число.