Том 51, № (2013)
Статьи
Длина экстремальной сети в нормированном пространстве: формула Максвелла
Аннотация
В настоящей работе рассматриваются локально минимальные и экстремальные сети в нормированных пространствах. Известно, что в случае евклидового пространства эти классы совпадают, и длина локально минимальной сети может быть найдена по координатам граничных вершин и направлениям граничных ребер (формула Максвелла). Более того, как показали Иванов и Тужилин [3], длина локально минимальной сети в евклидовом пространстве может быть найдена по координатам граничных вершин и структуре сети. В случае произвольной нормы не каждая локально минимальная сеть является экстремальной, и аналог упомянутой выше формулы имеет место только для экстремальных сетей, что является основным результатом настоящей работы. Кроме того, мы обобщаем формулу Максвелла на случай экстремальных сетей в нормированных пространствах и явно приводим нормирующие функционалы, фигурирующие в данной формуле, для некоторых классов нормированных пространств.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:5-20
5-20
Инвариант узлов в утолщенных поверхностях
Аннотация
В настоящей работе строится инвариант узлов в утолщенной сфере с g ручками, зависящий от 2g +3 переменных. При построении инварианта используются копредставление Виртингера группы узла, а также понятие четности, введенное Мантуровым [7]. В настоящей статье будут также рассмотрены примеры узлов в утолщенном торе, которые рассматривались в [8] и неэквивалентность которых доказывается с помощью построенного полинома.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:21-32
21-32
Граф-зацепления: нереализуемость, ориентация и полином Джонса
Аннотация
Данная работа посвящена граф-зацеплениям с многими компонентами и состоит из двух частей. В первой части работы мы классифицируем вершины меченого графа по их принадлежности компонентам граф-зацепления. На основе этой классификации мы строим инвариант графзацеплений. Этот инвариант показывает, что меченый второй граф Буше порождает нереализуемое граф-зацепление. Во второй части работы мы вводим понятие ориентированного граф-зацепления. Для ориентированного граф-зацепления мы определяем число закрученности и, нормируя с его помощью скобку Кауфмана, получаем инвариант ориентированных граф-зацеплений - полином Джонса.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:33-63
33-63
О больших подграфах графа расстояний, имеющих маленькое хроматическое число
Аннотация
В настоящей работе доказано, что в каждом дистанционном графе на плоскости есть индуцированный подграф, содержащий более 91 процента вершин исходного графа и имеющий хроматическое число, не большее четырех. С помощью этого результата найден порядок роста пороговой вероятности для свойства случайного графа быть изоморфным некоторому дистанционному графу на плоскости. Предложены обобщения результатов на другие размерности.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:64-73
64-73
Об объеме гиперболического октаэдра с нетривиальными симметриями
Аннотация
В настоящей статье с помощью формулы Деревнина-Медных объема гиперболического тетраэдра получены явные интегральные формулы объема произвольных гиперболических октаэдров, обладающих mmmи 2|m-симметриями, в терминах определяющих их двугранных углов.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:74-86
74-86
О комбинаторике разведений
Аннотация
Многие инварианты узлов строятся по разведениям узла в его перекрестках. Для их вычисления необходимо знать, на сколько компонент связности распадается диаграмма узла после разведения. В настоящей работе демонстрируется, как исследовать этот вопрос, используя модификацию теоремы Зулли вместе с модификацией спектральной теории графов.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:87-109
87-109
О хроматических числах целочисленных и рациональных решеток
Аннотация
В настоящей работе мы приводим новые верхние оценки для хроматических чисел целочисленных, рациональных и некоторых других решеток. В частности, в работе доказано, что для каждого конкретного целого числа \(d\) хроматическое число для \(Z^{n}\) с критическим расстоянием \(\sqrt{2d}\) имеет полиномиальный рост с ростом \(n,\) причем показатель не превосходит \(d\) (иногда эта оценка является точной). То же самое верно не только для случая евклидовых норм, но также и для любых \(l_{p}\)-норм. Кроме того, мы приводим конкретные оценки для малых размерностей, а также некоторые верхние оценки для хроматических чисел для пространств \(Q_{p}^{n},\) где через \(Q_{p}\) мы обозначаем кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на некоторое простое число.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:110-122
110-122
Слабые четности и функториальные отображения
Аннотация
В настоящей работе рассматриваются объекты, имеющие два эквивалентных описания: как функториальные отображения и как слабые четности. Функториальные отображения позволяют преобразовывать узлы и продолжать посредством этого инварианты узлов. Мы вводим понятие максимальной слабой четности и описываем ее для узлов на фиксированной замкнутой ориентированной поверхности. При помощи найденной слабой четности строится проекция из виртуальных узлов в классические.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:123-141
123-141
K-группы Брунса-Губеладзе для четырехугольной пирамиды
Аннотация
В работе изучается относительно недавно построенное обобщение алгебраической Kтеории, в котором в качестве дополнительного параметра используется сбалансированный многогранник. Для четырехугольной пирамиды изучается соответствующая группа Стейнберга и вычисляются K-группы.
Современная математика. Фундаментальные направления. 2013;51:142-151
142-151