On the harmonicity of a function with a Bôcher–Koebe type condition

Full Text

Введение

Классическая теорема Гаусса о гармонических функциях утверждает, что поток градиента гармонической функции через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность равен нулю. В начале двадцатого века начали изучать различные варианты обращения этого утверждения. Первый результат такого типа принадлежит М. Бохеру [1] и П. Кёбе [2].

Теорема А (М. Бохер, П. Кёбе). Пусть $\mathcal{D}$ — ограниченная область в ${ℝ}^n$$(n\ge 2),$ $f\in C^1\left(\mathcal{D}\right)$ и для любого шара $B$ такого, что $\overline{B}\subset \mathcal{D},$ выполнено равенство

${\int }_{\partial B}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\mathrm{0,}$   (0.1)

где $n$ — внешняя нормаль к $\partial B\mathrm{,}$ $d\omega$ — элемент площади. Тогда функция $f$ гармонична в области $\mathcal{D}\mathrm{.}$

Теорема A получила дальнейшее развитие и уточнение в ряде работ. В частности, Г. К. Эвансом [3] исследовался аналог уравнения (0.1), в котором ослаблялось условие непрерывности градиента $\nabla f\mathrm{.}$ Г. Э. Рейнор [4] допустил наличие у $f$ конечного числа особенностей и получил, помимо гармоничности $f\mathrm{,}$ некоторую информацию о поведении  в окрестности особых точек. Д. Д. Герген [5] установил обобщение теоремы А, заменив (0.1) равенством

${\int }_{\partial B}\left(f\frac{\partial h}{\partial n}-h\frac{\partial f}{\partial n}\right)d\omega =\mathrm{0,}$   (0.2)

где $h$ — гармоническая положительная в $\mathcal{D}$ функция. С. Сакс [6] усилил результаты М. Бохера, П. Кёбе и Д. Д. Гергена, рассматривая вместо (0.1) и (0.2) асимптотическое поведение интегралов по сферам в окрестности каждой точки $x\in \mathcal{D}\mathrm{.}$ В работе [7] Э. Ф. Беккенбах получил аналог теоремы А, заменив шары в (0.1) на кубы с ребрами, параллельными осям (в этой связи см. также [3]). Более детальная информация об этих и близких результатах содержится в обзорах [8, 9].

Ряд уточнений теоремы А может быть получен на основе исследования проблемы инъективности преобразования Помпейю [10–14].

Определение 0,1. Пусть $M\left(n\right)$ — группа евклидовых движений пространства ${ℝ}^n\mathrm{,}$ $n\ge 2.$ Набор $A_1,\dots ,A_m$ $(m\ge 1)$ компактных множеств положительной лебеговой меры в ${ℝ}^n$ называется семейством Помпейю, если не существует ненулевой локально суммируемой функции $f:{ℝ}^n\to ℂ$ такой, что

${\int }_{g\left(A_j\right)}f\left(x\right)dx=\mathrm{0,}j=\mathrm{1,}\dots ,m,$

для любого $g\in M\left(n\right).$

Подобным образом определяется семейство со свойством Помпейю относительно заданной области в ${ℝ}^n$ (см. [10, §3], [13, часть 4]). Формула Грина

${\int }_{\partial G}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega ={\int }_G\Delta fdx$   (0.3)

влечет следующую простую связь между гармоничностью и свойством Помпейю.

Теорема В. Предположим, что ${\mathcal{A}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mathcal{A}}_m$ — семейство областей в ${ℝ}^n$ с кусочно-гладкой границей и их замыкания ${\overline{\mathcal{A}}}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\overline{\mathcal{A}}}_m$ обладают свойством Помпейю относительно области $\mathcal{D}\subset {ℝ}^n\mathrm{.}$ Пусть $f\in C^2\left(\mathcal{D}\right),$ и для любого $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,m\}$ и всех $g\in M\left(n\right)$ таких, что $g\left({\overline{\mathcal{A}}}_j\right)\subset \mathcal{D},$ выполнено равенство

${\int }_{\partial \left(g\right(A_j\left)\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =0.$

Тогда функция $f$ гармонична в области $\mathcal{D}$.

Используя теорему В и известные достаточные условия для множеств Помпейю(см. [10–14]), можно получать различные уточнения теоремы А. В частности, имеет место следующая теорема о двух радиусах: если $f\in C^1\left({ℝ}^n\right)$ и равенство (0.1) справедливо для любых шаров $B\subset {ℝ}^n$ с радиусами $r_1$ и $r_2\mathrm{,}$причем $r_1/r_2$ не является отношением корней функции Бесселя $J_{n/2},$ то функция $f$ является гармонической на ${ℝ}^n$ (см. [15, 16], а также [17–20], где содержатся локальные аналоги этого утверждения для шара).

В данной работе изучается случай, когда $\mathcal{D}=\{x\in {ℝ}^n:0<|x|<R\},$ $f\in C^{\infty }\left(\mathcal{D}\right),$ а интегрирование в (0.1) ведется по всем сферам радиусов $r_1$ и $r_2\mathrm{,}$ лежащим в $\mathcal{D}\mathrm{.}$ При этом переход к теореме В осуществить нельзя ввиду возможной особенности у функции $f$ в нуле. Показано, что при указанных выше условиях на радиусы и $R\ge r_1+r_2$ можно сделать вывод о гармоничности функции $f$ в $\mathcal{D}$ (см. теорему 1 ниже). Отметим, что эти требования в общем случае ослабить нельзя (см. $\text{§}$ 2).

1. Формулировка основного результата

Пусть $(x,y)$ — стандартное скалярное произведение векторов $x\mathrm{,}y\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ $\left|x\right|=\sqrt{(x,x)}.$ Положим

$B_{a,b}=\{y\in {ℝ}^n:a<|y|<b\},0\le a<b,$

$B_a\left(x\right)=\{y\in {ℝ}^n:|y-x|<a\},S_a\left(x\right)=\{y\in {ℝ}^n:|y-x|=a\},$

$B_a=B_a\left(0\right),S_a=S_a\left(0\right).$

Определим множество $E_n\subset (\mathrm{0,}+\infty )$ равенством $E_n=\{{\zeta }_m/{\zeta }_j:m,j=\mathrm{1,2,}\dots \},$ где ${\zeta }_1\mathrm{,}{\zeta }_2\mathrm{,}\dots$ — возрастающая последовательность всех положительных нулей функции Бесселя $J_{n/2}.$ Отметим, что

${\zeta }_m=\pi \left(m+\frac{n-1}{4}\right)+O\left(\frac{1}{m}\right),m\to +\infty$   (1.1)

и $E_1$ совпадает с множеством всех положительных рациональных чисел. Всюду в дальнейшем предполагается, что $n\ge 2.$

Теорема 1.1. Основным результатом данной работы является следующая теорема.  Пусть $0<r_1<r_2,$ $r_1/r_2\cancel{\in }{E}_n,$ $R\ge r_1+r_2$ и $f\in C^{\infty }\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Если для любого $j\in \{1;2\}$ и всех $x\in B_{R-r_j}\backslash S_{r_j}$ справедливо равенство

${\int }_{S_{r_j}\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\mathrm{0,}$

то функция $f$ является гармонической в $B_{\mathrm{0,}R}\mathrm{.}$

Отметим, что при выполнении условий теоремы 1.1 функция  имеет нулевой вычет в точке $x=0$ (см. [21, гл. 10]). Обратно, если $f$ гармонична в $B_{\mathrm{0,}R}$ и $\mathrm{Re}s\left(f\mathrm{,0}\right)=\mathrm{0,}$ то $\frac{\partial f}{\partial n}$ имеет нулевые интегралы по всем сферам, лежащим в $B_{\mathrm{0,}R}\mathrm{.}$ Далее, если $r_1/r_2\in E_n$ или $R<r_1+r_2,$ то теорема 2 в [19] показывает, что существует негармоническая в $B_{\mathrm{0,}R}$ функция $f\in C^{\infty }\left(B_R\right),$ такая что

${\int }_{S_{r_j}\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\mathrm{0,}x\in B_{R-r_j},j\in \{1;2\}.$

Кроме того, условие $f\in C^{\infty }\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ в теореме 1.1 нельзя заменить, вообще говоря, требованием произвольной конечной гладкости функции $f$ в $B_R$ (см. [20, теорема 1 (5)]).

 2. Вспомогательные утверждения

Обозначим через $\mathbb{N}$ и ${\mathbb{Z}}_{+}$ множества натуральных и неотрицательных целых чисел соответственно. Далее будем считать, что всякая функция $f\in C\left(B_{\mathrm{0,}R}\right),$ допускающая непрерывное продолжение в точку $\mathrm{0,}$ доопределена в нуле по непрерывности.

Нам потребуется классическая теорема о среднем для решений уравнения Гельмгольца: если функция $f$ непрерывна в области $\mathcal{D}\subset {ℝ}^n$ и

$\Delta f=-{\lambda }^{2}fв\mathcal{D}принекотором\lambda \in ℂ,$   (2.1)

то

${\int }_{B_r\left(x\right)}f\left(y\right)dy={\left(\frac{2\pi r}{\lambda }\right)}^{\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}}\left(\lambda r\right)f\left(x\right)$    (2.2)

для любого шара $B_r\left(x\right),$ такого, что $\overline{B_r}\left(x\right)\subset \mathcal{D}.$

Пусть $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ ${\mathcal{H}}^{n\mathrm{,}k}$ — пространство сферических гармоник степени $k$ на $S_1\mathrm{,}$ рассматриваемое как подпространство $L^2{S}_1$, $d(n,k)$ — размерность ${\mathcal{H}}^{n\mathrm{,}k}\mathrm{,}$ ${\left\{Y_j^k\right\}}_{j=1}^{d(n,k)}$ — фиксированный ортонормированный базис в ${\mathcal{H}}^{n\mathrm{,}k}$ (см. [22, гл. 4]). Положим

$Y_1^0=\frac{1}{\sqrt{{\omega }_{n-1}}},где{\omega }_{n-1}=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}-площадь сферы S_1.$

Продолжим $Y_j^k$ до гармонического многочлена на ${ℝ}^n$ равенством $Y_j^k\left(x\right)={\rho }^k{Y}_j^k\left(\sigma \right),$ где $\rho \mathrm{,}$ $\sigma$ — полярные координаты точки $x\in {ℝ}^n$ ($\rho =\left|x\right|,$ а если $x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\},$ то $\sigma =x/\rho \in S_1$). Явный вид $Y_j^k$ может быть выписан в терминах многочленов Гегенбауэра (см. [23, гл. 11, §§11.2–11.4]).

Обозначим через $T^n\left(\tau \right)$ $(\tau \in O(n\left)\right)$ квазирегулярное представление ортогональной группы $O\left(n\right)$ в $L^2\left(S_1\right).$ Тогда $T^n\left(\tau \right)$ является прямой суммой попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений $T^{n,k}\left(\tau \right),$ действующих на ${\mathcal{H}}^{n\mathrm{,}k}$ (см. [24, гл. 9, § 2.1]). Пусть $\left\{t_{l,j}^k\left(\tau \right)\right\}$ — матрица представления $T^{n,k}\left(\tau \right),$ т. е.

$Y_j^k\left({\tau }^{-1}\sigma \right)=\sum _{l=1}^{d(n,k)}{t}_{l,j}^k\left(\tau \right)Y_l^k\left(\sigma \right),\sigma \in S_1.$

Всякой функции $f\in C\left(B_{a,b}\right)$ соответствует ряд Фурье вида

$f\left(x\right)~\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{d(n,k)}{f}^{k,j}\left(x\right),x\in B_{a,b},$   (2.3)

где

$f^{k,j}\left(x\right)=f_{k,j}\left(\rho \right)Y_j^k\left(\sigma \right),f_{k,j}\left(\rho \right)={\int }_{S_1}f\left(\rho \sigma \right)\overline{Y_j^k\left(\sigma \right)}d\omega \left(\sigma \right).$

Для функций $f^{k,j,l}\left(x\right)=f_{k,j}\left(\rho \right)Y_l^k\left(\sigma \right)$ справедливо равенство 

$f^{k,j,l}\left(x\right)=d(n,k){\int }_{O\left(n\right)}f\left({\tau }^{-1}x\right)\overline{t_{l,j}^k\left(\tau \right)}d\tau ,$   (2.4)

где $d\tau$ — мера Хаара на группе $O\left(n\right)$ единичной массы. Если $f\in C^{\infty }\left(B_{a,b}\right),$ то ряд в правой части (2.3) сходится к $f$ в стандартной топологии пространства $C^{\infty }\left(B_{a,b}\right).$

Компоненты Фурье функции $f$ и ее лапласиана $\Delta f$ связаны соотношениями 

${\left(\Delta f\right)}^{k,j}=\Delta \left(f^{k,j}\right),{\left(\Delta f\right)}_{k,j}\left(\rho \right)={\rho }^{1-n-k}\frac{d}{d\rho }\left({\rho }^{n+2k-1}\frac{d}{d\rho }\right({\rho }^{-k}{f}_{k,j}\left(\rho \right)\left)\right).$   (2.5)

В частности, 

$\Delta \left({\Phi }_{k,n}\right(\rho \left)Y_j^k\right(\sigma \left)\right)=0на{ℝ}^n\backslash \left\{0\right\},$   (2.6)

где

${\Phi }_{k,n}\left(\rho \right)=\left\{\begin{array}{cc}\ln \rho ,& еслиn=\mathrm{2,}k=\mathrm{0,}\\ {\rho }^{2-n-k},& еслиn+2k\ne 2.\end{array}\right.$

Положим 

${\gamma }_{k,n}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& еслиk\ge \mathrm{1,}\\ \sqrt{2\pi },& еслиn=\mathrm{2,}k=\mathrm{0,}\\ (2-n)\sqrt{{\omega }_{n-1}},& еслиn\ge \mathrm{3,}k=0.\end{array}\right.$   (2.7)

Лемма 2.1. Пусть $f\left(y\right)={\Phi }_{k,n}\left(\right|y\left|\right)Y_j^k(y/|y\left|\right),$ $y\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}.$ Тогда

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& \left|x\right|>r,\\ {\gamma }_{k,n},& \left|x\right|<r.\end{array}\right.$   (2.8)

Доказательство. Требуемое равенство следует из (2.6) и теоремы о вычетах для гармонических функций (см. [21, теорема 10.8]).

Обозначим через $Z_{\nu }$ функцию Бесселя $J_{\nu }$ или функцию Неймана $N_{\nu }\mathrm{.}$

Лемма 2.2. При $\lambda >0$ имеет место равенство

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{Z_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\lambda \right|y\left|\right)}{|y{|}^{\frac{n}{2}+k-1}}{Y}_j^k\left(y\right)\right)d\omega \left(y\right)=-{\left(2\pi r\right)}^{\frac{n}{2}}{\lambda }^{2-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}}\left(\lambda r\right)\frac{Z_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\lambda \right|x\left|\right)}{|x{|}^{\frac{n}{2}+k-1}}{Y}_j^k\left(x\right),$   (2.9)

где $x\in {ℝ}^n$ и $\left|x\right|>r$ для $J_{\frac{n}{2}+k-1}$ и $N_{\frac{n}{2}+k-1}$ соответственно.

Доказательство. Соотношения (2.5) и формулы дифференцирования

$\frac{d}{dt}\left(t^{\nu }{Z}_{\nu }\right(t\left)\right)=t^{\nu }{Z}_{\nu -1}\left(t\right),\frac{d}{dt}\left(t^{-\nu }{Z}_{\nu }\right(t\left)\right)=-t^{-\nu }{Z}_{\nu +1}\left(t\right)$   (2.10)

влекут равенство 

$\Delta \left(\frac{Z_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\lambda \rho \right)}{{\rho }^{\frac{n}{2}-1}}{Y}_j^k\left(\sigma \right)\right)=-{\lambda }^2\frac{Z_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\lambda \rho \right)}{{\rho }^{\frac{n}{2}-1}}{Y}_j^k\left(\sigma \right),x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}.$   (2.11)

При этом 

$\frac{J_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\lambda \rho \right)}{{\rho }^{\frac{n}{2}-1}}{Y}_j^k\left(\sigma \right)=\frac{{\lambda }^{\frac{n}{2}-1}}{i^k{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{S_1}{e}^{i\lambda (\rho \sigma ,\eta )}{Y}_j^k\left(\eta \right)d\omega \left(\eta \right)$

(см., например, [13, часть 1, формула (5.29)]). Поэтому в случае функции Бесселя соотношение (2.11) справедливо всюду на  Из (0.3), (2.11) и (2.2) получаем требуемое. 

Для $R>\mathrm{0,}$ $r\in \left(\mathrm{0,}R\right)$ положим 

${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)=\{f\in C^{\infty }(B_{\mathrm{0,}R}):{\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =0\forall x\in B_{R-r}\backslash S_r\}.$

Лемма 2.3. Класс ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ инвариантен относительно дифференцирований, ортогональных преобразований и операторов  $f\to f^{k\mathrm{,}j\mathrm{,}l}$ $(k\in {\mathbb{Z}}_{+},j,l\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k)\left\}\right).$

Доказательство. Пусть $f\text{}\in \text{}{ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ По определению класса ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ имеем

$0={\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\frac{1}{r}{\int }_{S_r\left(x\right)}(\nabla f(\eta ),\eta -x)d\omega \left(\eta \right)$

$=-\frac{1}{r}{\int }_{S_r}(\nabla f(x-\eta ),\eta )d\omega \left(\eta \right),x\in B_{R-r}\backslash S_r.$   (2.12)

Дифференцируя это равенство по $x\mathrm{,}$ приходим к инвариантности класса ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ относительно дифференцирований. Далее, нетрудно видеть, что 

$\nabla (f\circ \tau )={\tau }^{-1}\circ \nabla f\circ \tau длялюбого\tau \in O\left(n\right).$   (2.13)

Используя (2.12), (2.13) и учитывая, что ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение, получаем

${\int }_{S_r\left(x\right)}(\nabla (f\circ \tau \left)\right(\eta ),\eta -x)d\omega \left(\eta \right)={\int }_{S_r\left(\tau x\right)}(\nabla f(\eta ),\eta -\tau x)d\omega \left(\eta \right)=0.$

Тогда (см. (2.4))

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial }{\partial n}\left(f^{k,j,l}\right)d\omega =\frac{d(n,k)}{r}{\int }_{O\left(n\right)}{\int }_{S_r\left({\tau }^{-1}x\right)}(\nabla f(\eta ),\eta -{\tau }^{-1}x)d\omega \left(\eta \right)\overline{t_{l,j}^k\left(\tau \right)}d\tau =0.$

Таким образом, $f\circ \tau$ и $f^{k\mathrm{,}j\mathrm{,}l}$ принадлежат классу ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right),$ что завершает доказательство леммы 2.3. 

Лемма 2.4. Пусть $Y\in {\mathcal{H}}^{n,k}\backslash \left\{0\right\}$ и $h\left(\rho \right)Y\left(\sigma \right)\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Тогда

${\rho }^k\frac{d}{d\rho }\left({\rho }^{-k}h\right(\rho \left)\right)Y_j^{k+1}\left(\sigma \right)\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)привсехj\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k+1\left)\right\}.$

Кроме того, если $k\ge \mathrm{1,}$ то

${\rho }^{2-n-k}\frac{d}{d\rho }\left({\rho }^{n+k-2}h\right(\rho \left)\right)Y_j^{k-1}\left(\sigma \right)\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)привсехj\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k-1\left)\right\}.$

Доказательство. Используя лемму 2.3 и повторяя рассуждение из [20, лемма 2], получаем требуемое утверждение.

Лемма 2.5. Пусть $Y\in {\mathcal{H}}^{n,k}\backslash \left\{0\right\},$ $f\left(x\right)={\rho }^{4-n-k}Y\left(\sigma \right).$ Если $R>2r$ и $n+2k\ne \mathrm{4,}$ то $f\cancel{\in }{ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$

Доказательство. Используя (2.5), находим

$\left(\Delta f\right)\left(x\right)=2(4-n-2k){\rho }^{2-n-k}Y\left(\sigma \right),\Delta \left({\rho }^{2-n-k}Y\left(\sigma \right)\right)=0.$

Из этих равенств, формулы (0.3) и теоремы о среднем для гармонических функций имеем 

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =4(4-n-2k)\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{r}^n}{n\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\left|x{|}^{2-n-2k}Y\right(x),x\in B_{r,R-r}.$

Отсюда видно, что $f\cancel{\in }{ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$

Лемма 2.6. Пусть $\lambda >\mathrm{0,}$ $x\in B_r$ и $f\left(y\right)=f_0\left(\right|y\left|\right)=\left|y{|}^{1-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}-1}\right(\lambda \left|y\right|).$ Тогда

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =-{\left(2\pi r\right)}^{\frac{n}{2}}{\lambda }^{2-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left(\lambda r\right)\left|x{|}^{1-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}-1}\right(\lambda \left|x\right|).$   (2.14)

Доказательство. Обозначим через  интеграл в левой части равенства (2.14). Используя (2.10), имеем

$F\left(0\right)={\int }_{S_r}{f}_{0^{\text{'}}}\left(\right|y\left|\right)d\omega \left(y\right)=-\lambda {\int }_{S_r}\left|y{|}^{1-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\right(\lambda \left|y\right|\left)d\omega \right(y)=-\frac{2\lambda {\left(\pi r\right)}^{\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left(\lambda r\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}.$   (2.15)

Далее, из (2.12) и (2.13) следует, что $F$ — радиальная гладкая функция в $B_r\mathrm{,}$ удовлетворяющая уравнению (2.1). Поэтому

$F\left(x\right)=c\left|x{|}^{1-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}-1}\right(\lambda \left|x\right|),x\in B_r,$

для некоторой константы $c$ (см. (2.11)). Учитывая (2.15) и равенство 

$\underset{t\to 0}{\lim }{t}^{1-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}-1}\left(t\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}-1}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)},$

получаем $c=-{\left(2\pi r\right)}^{\frac{n}{2}}{\lambda }^{2-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left(\lambda r\right).$ Таким образом, $F\left(x\right)$ совпадает с правой частью в (2.14).

Для доказательства следующей леммы напомним известные асимптотики бесселевых функций:

$J_{\nu }\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\left(\cos (t-\frac{\pi \nu }{2}-\frac{\pi }{4})+O\left(\frac{1}{t}\right)\right),t\to +\infty ,$   (2.16)

$N_{\nu }\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\left(\sin (t-\frac{\pi \nu }{2}-\frac{\pi }{4})+O\left(\frac{1}{t}\right)\right),t\to +\infty$   (2.17)

(см. [23, гл. 7, § 7.13]).

Лемма 2.7. Пусть $0\le a<b,$ $0<r<(b-a)/\mathrm{2,}$ $f\in C^{\infty }\left(B_{a,b}\right).$ Тогда

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =0наB_{a+r,b-r}$   (2.18)

в том и только том случае, когда при всех $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$ и $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k\left)\right\}$ имеет место равенство 

$f_{k,j}\left(\rho \right)=a_{k,j}{\rho }^k+b_{k,j}{\Phi }_{k,n}\left(\rho \right)$

$+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{c}_{m,k,j}{J}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)+d_{m,k,j}{N}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),a<\rho <b,$ (2.19)

где $a_{k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{b}_{k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{c}_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{d}_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}\in ℂ$ и $\left|c_{m,k,j}\right|+\left|d_{m,k,j}\right|=O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0.$

Доказательство. Предположим, что функция $f$ удовлетворяет условию (2.18). Тогда в силу (0.3) ее лапласиан $\Delta f$ имеет нулевые интегралы по всем замкнутым шарам радиуса $r\mathrm{,}$ лежащим в $B_{a\mathrm{,}b}\mathrm{.}$ Поэтому при всех $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k\left)\right\}$.

${\left(\Delta f\right)}_{k,j}\left(\rho \right)={\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{\alpha }_{m,k,j}{J}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)+{\beta }_{m,k,j}{N}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),a<\rho <b,$

где ${\alpha }_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{\beta }_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}\in ℂ$ и ${\alpha }_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}+{\beta }_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0$ (см. [25, теорема 3]). Используя это представление, равенство (2.5), первую формулу в (2.10) и (1.1), (2.16), (2.17), приходим к разложению   

${\rho }^{n+2k-1}\frac{d}{d\rho }\left({\rho }^{-k}{f}_{k,j}\right(\rho \left)\right)={\gamma }_{k,j}+r{\rho }^{\frac{n}{2}+k}\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\alpha }_{m,k,j}}{{\zeta }_m}{J}_{\frac{n}{2}+k}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)+\frac{{\beta }_{m,k,j}}{{\zeta }_m}{N}_{\frac{n}{2}+k}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),a<\rho <b,$

где ${\gamma }_{k\mathrm{,}j}\in ℂ\mathrm{.}$ Отсюда и из второй формулы в (2.10) аналогично находим

$f_{k,j}\left(\rho \right)=a_{k,j}{\rho }^k+b_{k,j}{\Phi }_{k,n}\left(\rho \right)-{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{\left(\frac{r}{{\zeta }_m}\right)}^{\text{}2}\text{}\left({\alpha }_{m,k,j}{J}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)+{\beta }_{m,k,j}{N}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)\right).$

Тем самым разложение (2.19) доказано.

Обратно, если компоненты $f_{k\mathrm{,}j}$ функции $f$ имеют вид (2.19), то из (0.3), (1.1), (2.16), (2.17), (2.9) и (2.8) заключаем, что при всех $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k\left)\right\}$.

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial }{\partial n}\left(f^{k,j}\right)d\omega =\mathrm{0,}x\in B_{a+r,b-r}.$

Следовательно, функция  удовлетворяет условию (2.18).

Лемма 2.8. Пусть $R>2r$ и $f\left(x\right)=f_0\left(\rho \right)\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Тогда

  $f_0\left(\rho \right)=a_0+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{a}_m{J}_{\frac{n}{2}-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),0<\rho <R,$   (2.20)

где $a_0\mathrm{,}{a}_m\in ℂ$ и $a_m=O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0.$  

Доказательство. В силу леммы 2.7 имеем

$f_0\left(\rho \right)=a_0+b_0{\Phi }_{\mathrm{0,}n}\left(\rho \right)+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{a}_m{J}_{\frac{n}{2}-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)+b_m{N}_{\frac{n}{2}-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),0<\rho <R,$

где $a_0\mathrm{,}{b}_0\mathrm{,}{a}_m\mathrm{,}{b}_m\in ℂ$ и $\left|a_m\right|+\left|b_m\right|=O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0.$ Используем теперь условие

${\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\mathrm{0,}x\in B_r.$

Учитывая (1.1), (2.16), (2.17), (2.9), (2.8) и (2.14), находим 

${\left(2\pi r\right)}^{\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{b}_m{\zeta }_m^{2-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_m\right)t^{1-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}-1}\left({\zeta }_{m}t\right)=b_0\sqrt{{\omega }_{n-1}}{\gamma }_{\mathrm{0,}n}r,0<t<1.$    (2.21)

Дифференцируя этот ряд по  (см. (1.1), (2.10), (2.16), (2.17)), получаем 

$\sum _{m=1}^{\infty }{b}_m{\zeta }_m^{3-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_m\right)J_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_{m}t\right)=\mathrm{0,}0<t<1.$

Отсюда и из известных соотношений ортогональности 

${\int }_0^{1}t{J}_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_{m}t\right)J_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_{j}t\right)dt=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& m\ne j,\\ J_{\frac{n}{2}+1}^2\left({\zeta }_m\right)/\mathrm{2,}& m=j,\end{array}\right.$

следуют равенства

$b_m{\zeta }_m^{3-\frac{n}{2}}{N}_{\frac{n}{2}}\left({\zeta }_m\right)=\mathrm{0,}m\in \mathbb{N}.$

Комбинируя их с формулой Ломмеля–Ганкеля 

$J_{\nu }\left(t\right)N_{\nu +1}\left(t\right)-J_{\nu +1}\left(t\right)N_{\nu }\left(t\right)=-\frac{2}{\pi t},$

делаем вывод, что $b_m=0$ при всех $m\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ Тогда $b_0=0$ (см. (2.21) и (2.7)). Тем самым разложение (2.20) доказано. 

Теорема 2.1. Пусть $R>2r,$ $f\in C^{\infty }\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Тогда $f\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ в том и только том случае, когда при всех $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k\left)\right\}$ имеет место равенство

$f_{k,j}\left(\rho \right)=a_{k,j}{\rho }^k+b_{k,j}{\rho }^{2-n-k}+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{c}_{m,k,j}{J}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right),0<\rho <R,$   (2.22)

где $a_{k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{b}_{k\mathrm{,}j}\mathrm{,}{c}_{m\mathrm{,}k\mathrm{,}j}\in ℂ\mathrm{,}$ $b_{\mathrm{0,1}}=0$ и $c_{m,k,j}=O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0.$

Доказательство. Если $f\text{}\in \text{}{C}^{\infty }\left(\text{}{B}_{\mathrm{0,}R}\right)$ и выполнено разложение (2.22), то все $f^{k\mathrm{,}j}$ принадлежат классу ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ (см. (1.1), (2.10), (2.16), (2.9), (2.8)). Поэтому

Далее, докажем индукцией, что если некоторая функция $h\left(\rho \right)Y_1^k\left(\sigma \right)$ принадлежит классу ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right),$ то $h$ можно представить рядом вида (2.22) при $j=1.$ В случае $k=0$ это утверждение следует из леммы 2. Предположим, что оно справедливо при некотором $k$ и установим его для $k+1.$ Пусть $h\left(\rho \right)Y_1^{k+1}\left(\sigma \right)\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Тогда, в силу леммы 2,

${\rho }^{1-n-k}\frac{d}{d\rho }\left({\rho }^{n+k-1}h\right(\rho \left)\right)=a_{k\mathrm{,1}}{\rho }^k+b_{k\mathrm{,1}}{\rho }^{2-n-k}+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{c}_{m,k\mathrm{,1}}{J}_{\frac{n}{2}+k-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right).$

Отсюда находим (см. (2.10))

$h\rho \frac{a_{k\mathrm{,1}}}{n+2k}{\rho }^{k+1}+\frac{b_{k\mathrm{,1}}}{2}{\rho }^{3-n-k}+d_k{\rho }^{1-n-k}+r{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _m^{\infty }\frac{c_{m\mathrm{,}k\mathrm{,1}}}{{\zeta }_m}{J}_{\frac{n}{2}+k}\left(\frac{{\zeta }_m}{r}\rho \right)\mathrm{,}$

где $d_k\in ℂ\mathrm{.}$ Это представление, соотношения (2.9), (2.8) и лемма 2.5 влекут равенство $b_{k\mathrm{,1}}=\mathrm{0,}$ что и требовалось. Теперь из леммы 2.3 получаем (2.22) для $f\in {ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Таким образом, теорема 2.1 доказана. 

3. Доказательство теоремы 1.1

Предположим, что выполнены условия теоремы 1.1. По лемме 2.3 функция $f^{\mathrm{0,1}}$ принадлежит классу $({ℌ}_{r_1}\cap {ℌ}_{r_2})\left(B_{\mathrm{0,}R}\right).$ Так как $R>2r_1,$ на основании леммы 2.8 имеем

$f_{\mathrm{0,1}}\left(\rho \right)=a_0+{\rho }^{1-\frac{n}{2}}\sum _{m=1}^{\infty }{a}_m{J}_{\frac{n}{2}-1}\left(\frac{{\zeta }_m}{r_1}\rho \right),0<\rho <R,$

где $a_0\mathrm{,}{a}_m\in ℂ$ и $a_m=O\left({\zeta }_m^{-s}\right)$ при $m\to \infty$ для любого $s>0.$ Учитывая, что $R\ge r_1+r_2$ и $f^{\mathrm{0,1}}\in {ℌ}_{r_2}\left(B_{\mathrm{0,}R}\right),$ с использованием (2.9) находим 

$\sum _{m=1}^{\infty }{a}_m{\zeta }_m^{2-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}}\left(\frac{r_2{\zeta }_m}{r_1}\right)t^{1-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}-1}\left({\zeta }_{m}t\right)=\mathrm{0,}0<t<1.$

Отсюда (см. доказательство леммы 2.8)

$a_m{\zeta }_m^{3-\frac{n}{2}}{J}_{\frac{n}{2}}\left(\frac{r_2{\zeta }_m}{r_1}\right)=\mathrm{0,}m\in \mathbb{N}.$

Из этих равенств и условия $r_1/r_2\cancel{\in }{E}_n$ видно, что $a_m=0$ при всех $m\in \mathbb{N}$ и, значит, $f_{\mathrm{0,1}}\left(\rho \right)=a_0.$ Теперь, повторяя рассуждения в доказательстве теоремы 2.1, получаем 

$f_{k,j}\left(\rho \right)=a_{k,j}{\rho }^k+b_{k,j}{\rho }^{2-n-k},0<\rho <R$

при всех $k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $j\in \{\mathrm{1,}\dots ,d(n,k\left)\right\},$ где $a_{k\mathrm{,}j}\mathrm{,}$ $b_{k\mathrm{,}j}\in ℂ$ и $b_{\mathrm{0,1}}=0.$ Поэтому функция $f$ гармонична в $B_{\mathrm{0,}R}\mathrm{,}$ что и требовалось.

About the authors

Natalia P. Volchkova

Donetsk National Technical University

Author for correspondence.
Email: volna936@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-6193-2782

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department

Russian Federation, 58 Artioma St., Donetsk 283000

Vitaliy V. Volchkov

Donetsk State University

Email: vit.v.volchkov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4274-0034

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematical Analysis and Differential Equations Department

Russian Federation, 24 Universitetskaya St., Donetsk 283001

References

Supplementary files