Том 29, № 146 (2024)

Пусть $B_R$ — открытый шар радиуса $R$ в ${ℝ}^n$ с центром в нуле, $B_{\mathrm{0,}R}=B_R\backslash \left\{0\right\}$ и функция $f$ гармонична в $B_{\mathrm{0,}R}\mathrm{.}$ Если $f$ имеет нулевой вычет в точке $x=\mathrm{0,}$ то поток ее градиента через любую сферу, лежащую в $B_{\mathrm{0,}R}\mathrm{,}$ равен нулю. В данной работе изучается обратное явление для случая, когда допустимы лишь сферы одного или двух фиксированных радиусов $r_1$ и $r_2\mathrm{.}$ Найдено описание класса функций

 ${ℌ}_r\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)=\{f\in C^{\infty }(B_{\mathrm{0,}R}):{\int }_{S_r\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =0\forall x\in B_{R-r}\backslash S_r\},$                  

 где $r\in (\mathrm{0,}R/2),$ $S_r\left(x\right)=\{y\in {ℝ}^n:|y-x|=r\},$$S_r=S_r\left(0\right).$ Доказано, что если $r_1/r_2$ не является отношением нулей функции Бесселя $J_{n/2}$ и $f\in ({ℌ}_{r_1}\cap {ℌ}_{r_2})\left(B_{\mathrm{0,}R}\right),$ то функция $f$ является гармонической в $B_{\mathrm{0,}R}$ и $\mathrm{Re}s\left(f\mathrm{,0}\right)=0.$ Этот результат нельзя существенно усилить. А именно, если $r_1/r_2=\alpha /\beta ,$ где $J_{n/2}\left(\alpha \right)=J_{n/2}\left(\beta \right)=\mathrm{0,}$ или $R<r_1+r_2,$ то существует негармоническая в $B_{\mathrm{0,}R}$ функция $f\in C^{\infty }\left(B_R\right)$ такая, что

${\int }_{S_{r_j}\left(x\right)}\frac{\partial f}{\partial n}d\omega =\mathrm{0,}x\in B_{R-r_j},j\in \{1;2\}.$                                  

 Кроме того, условие $f\in C^{\infty }\left(B_{\mathrm{0,}R}\right)$ нельзя заменить, вообще говоря, требованием $f\in C^s{B}_R$ при произвольном фиксированном $s\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Рассматриваются варианты метода Ньютона для кусочно-гладких нелинейных уравнений, а также метода Гаусса–Ньютона для случая наличия дополнительных ограничений, снабженные процедурами одномерного поиска для невязки уравнения в целях глобализации сходимости. Кусочно-гладкие нелинейные уравнения с ограничениями естественным образом возникают как переформулировки систем уравнений и неравенств, включающих в себя условия комплементарности. В случаях, когда направление метода Ньютона не удается вычислить, или оно оказывается слишком длинным, алгоритм переключается на страховочные шаги градиентного метода для квадрата невязки уравнения с гладким кусочным отображением, активным в текущем приближении. Для метода Гаусса–Ньютона используются страховочные шаги метода проекции градиента. Получены результаты, характеризующие свойства возможных предельных точек последовательностей, генерируемых этими методами, а именно, стационарность всякой такой точки хотя бы для одного активного в ней гладкого кусочного отображения, а также условия асимптотической сверхлинейной скорости сходимости таких последовательностей. Особое внимание уделено требованию мажорирования нормы отображения нормами гладких кусочных отображений, играющему ключевую роль в анализе для кусочно-гладкого случая. Приведены примеры, демонстрирующие, что при невыполнении этого условия рассматриваемые алгоритмы могут генерировать последовательности, сходящиеся к точкам, не являющимся стационарными ни для одного активного гладкого кусочного отображения.

В настоящей работе изучаются различные разновидности показателей блуждаемости решений линейной однородной и нелинейной двумерных дифференциальных систем с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. При этом все непродолжаемые решения рассматриваемой нелинейной системы определены на всей положительной полуоси времени.

В 2010 году И. Н. Сергеевым были определены скорость блуждания и показатели блуждаемости (верхние и нижние, сильные и слабые) ненулевого решения  линейной системы. Скорость блуждания решения — это средняя по времени скорость, с которой движется центральная проекция решения на единичную сферу. А сильные и слабые показатели блуждаемости — это скорость блуждания решения, но минимизированная по всем системам координат, причем в случае слабого показателя блуждаемости минимизация производится в каждый момент времени. Следовательно, сильные и слабые показатели блуждаемости учитывают только ту информацию о решении, которая не гасится линейными преобразованиями: так, они учитывают обороты вектора  вокруг нуля, но не учитывают его локальное вращение вокруг какого-либо другого вектора.

В данной работе проведено исследование по первому приближению сильных и слабых показателей блуждаемости. Установлено отсутствие непосредственной взаимосвязи между мощностями спектров (т. е. множеств различных значений на ненулевых решениях) сильных и слабых показателей блуждаемости нелинейной системы и системы ее первого приближения. А именно, построена двумерная нелинейная система, спектры сильных и слабых показателей блуждаемости сужения которой на любую открытую окрестность нуля фазовой плоскости состоят из всех рациональных чисел отрезка  а спектры линейной системы ее первого приближения — только из одного элемента.

Рассмотрен класс замкнутых множеств двумерного евклидова пространства, в общем случае не являющихся чебышевскими множествами. Множества изучены с позиций двух известных определений, обобщающих классическое определение выпуклого множества. В рамках этих определений установлены аналитические взаимосвязи между параметрами, характеризующими невыпуклые множества. Найдены формула вычисления функции, определяющей степень невыпуклости замкнутого множества, и формула вычисления радиуса опорного шара. Указаны области приложения изучаемых конструкций в теории управления динамическими системами. Приведен иллюстрирующий пример, в котором предъявлена процедура аналитического вычисления чебышевского слоя невыпуклого множества с разрывной кривизной его границы.