Methods for constructing invariant cubature formulas for integrals over the surface of a torus in R³

Full Text

Введение

В работе рассматривается вопрос о построении кубатурных формул вида

$I\left[f\right]=\frac{1}{4{\pi }^{2}r}\underset{T}{\int }f(x,y,z)dS\simeq \sum _{i=1}^N{c}_{i}f(x_i,y_i,z_i)$   (0.1)

для поверхности тора T в ${ℝ}^3\mathrm{,}$ определяемой уравнением

${(x^2+y^2+z^2-r^2-1)}^2+4r^2{z}^2-4r^2=\mathrm{0,}r\ge \mathrm{1,}$   (0.2)

инвариантных относительно группы G порожденной отражениями тора T в себя. Уравнение (0.2), являющееся нормированным уравнением тора

${\left(X^2+Y^2+Z^2-R^2-a^2\right)}^2+4R^2{Z}^2-4R^2{a}^2=\mathrm{0,}$

получено с помощью замены переменных $X=ax,$ $Y=ay,$ $Z=az,$ где $r=R/a.$

Для исследования построения кубатурных формул для поверхности тора в ${ℝ}^3$ есть веские причины. Во-первых, эта поверхность имеет различную кривизну в точках с фиксированным значением. Эта кривизна зависит от соотношения радиусов $R\mathrm{,}a\mathrm{,}$ т. е. от $r=R/a.$ В этом заключается главное различие построения кубатурных формул для поверхности тора и для поверхности с постоянной кривизной, например, сферы. Величина коэффициентов и значения координат узлов для тора тоже будет зависеть от соотношения радиусов $R,a.$ Для некоторых соотношений формулы существуют, для некоторых нет. Во-вторых, на данный момент полностью описаны только минимальные кубатурные формулы для тора степени 3, построены отдельные минимальные формулы степени 2, а известные инвариантные формулы степеней больше 3 имеют число узлов гораздо больше минимального.

1. Основные понятия

Приведем некоторые сведения из теории инвариантных кубатурных формул.

Определение 1.1. Множество $\Omega \subset {ℝ}^n$ называется инвариантным множеством относительно преобразований группы G если $g\left(\Omega \right)=\Omega$ для любого $g\in G\mathrm{.}$  

Определение 1.2. Формула

$\underset{\Omega }{\int }p\left(x\right)f\left(x\right)dx\simeq \sum _{j=1}^N{c}_{j}f\left(x^{\left(j\right)}\right),\Omega \in {ℝ}^n,$   (1.1)

называется инвариантной кубатурной формулой относительно G если область интегрирования $\Omega$ и весовая функция $p\left(x\right)$ инвариантны относительно G и совокупность узлов данной формулы представляет собой объединение G-орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопоставляются одинаковые коэффициенты.

Понятие инвариантной кубатурной формулы было введено С. Л. Соболевым [1], им же была доказана приведенная ниже теорема и даны ее применения к построению инвариантных кубатурных формул для сферы.

Мы будем использовать теорему С. Л. Соболева об инвариантных кубатурных формулах в формулировке из [2].

Теорема 1.1. Для того, чтобы кубатурная формула (1.1), инвариантная относительно преобразований группы G была точна для всех функций конечномерного векторного пространства $\Psi \mathrm{,}$ инвариантного относительно G необходимо и достаточно, чтобы она была точна для тех функций из $\Psi \mathrm{,}$ которые инвариантны относительно G  

В работе будут строиться инвариантные кубатурные формулы, имеющие точность d.

Определение 1.3. Говорят, что кубатурная формула (1.1) имеет точность d если она точно интегрирует (превращается в точное равенство) многочлены из ${ℝ}^n$ степени не выше d и существует хотя бы один многочлен степени $d+\mathrm{1,}$ для которого формула (1.1) не точна.

В качестве группы G мы будем рассматривать группу отображений тора T в себя. Она представима в виде декартового произведения $G=G_1\times G_2$ группы $G_1\mathrm{,}$ порожденной отражением от плоскости $xOy\mathrm{,}$ и группой $G_2\mathrm{,}$ порожденной группой симметрий плоскости $xOy\mathrm{.}$

Заметим, что полученные в статье формулы не являются минимальными в том смысле, что число узлов не совпадает с нижней границей [3]. Вообще, минимальные формулы для тора известны только для $d=2$ и $d=3$ (см. [4–6]). Однако методы их получения, такие как метод воспроизводящего ядра и метод общих корней ортогональных многочленов, не удается пока использовать при $d>3.$ Отметим также, что на построение и существование кубатурных формул (0.1) существенное влияние оказывает значение параметра r (впервые это было отмечено в [4]), так что наличие кубатурной формулы точности d при одном значении  не гарантирует существование таких формул при других r.

В качестве группы $G_2$ будем рассматривать группу $D_2$ (группа симметрий прямоугольника) [7]. Она включает в себя: отражения относительно осей, тождественное преобразование и поворот на угол  Используя данную группу, удается уменьшить число узлов и приблизиться к их минимальному количеству.

Построим кубатурные формулы для тора пятой и седьмой степени точности, инвариантные относительно группы $G=G_1\times D_2,$ в этом случае G-орбита точки $M(x,y,z)\in T$ может содержать самое большее 8 точек.

2. Построение инвариантной кубатурной формулы 5-й степени точности

Инвариантными для G многочленами не выше пятой степени являются

  $\mathrm{1,}{x}^2+y^2,x^2-y^2,z^2,x^4+y^4,x^4-y^4,x^2{y}^2{z}^4,z^2(x^2+y^2),z^2(x^2-y^2).-1ex$

Из (0.2) видно, что $z^4$ линейно выражается через многочлены

$x^2+y^2,z^2,x^4+y^4,z^2(x^2+y^2),x^2{y}^2$                                     

и постоянные. Учитывая это, получаем, что базисными инвариантными формами относительно G для T будут многочлены

$u_1=\mathrm{1,}{u}_2=x^2+y^2,u_3=x^2-y^2,u_3=z^2,u_4=x^4+y^4,$

$u_5=x^4-y^4,u_6=z^2(x^2+y^2),u_7=z^2(x^2-y^2),u_8=x^2{y}^2.$

В уравнение тора (0.2) входит параметр r поэтому узлы и коэффициенты кубатурной формулы будут зависеть от r. Выберем узлы кубатурной формулы так, чтобы их число N было наименьшим возможным. Это число N определяется разрешимостью системы

$I\left[u_j\right]=\sum _{i=1}^N{c}_i{u}_j(x_i,y_i,z_i),j=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,8,}$

относительно неизвестных коэффициентов $c_i$ и координат узлов формулы.

Взяв в качестве узлов орбиты точек

$(0;r+1;0),\left(x_2;y_2;0\right),(x_3;0;z_3),(0;y_4;z_4),(0;y_5;z_5),$

с учетом $x_2^2+y_2^2={(r+1)}^2$ получаем $N=18$ (нижняя граница числа узлов 14). Ранее в [8] была построена формула с 24 узлами. Приходим к следующей системе

$2c_1+4c_2+4c_3+4c_4+4c_5=\mathrm{1,}$

$2c_1{\left(r+1\right)}^2+4c_2\left(x_2^2+y_2^2\right)+4c_3{x}_3^2+4c_4{y}_4^2+4c_5{y}_5^2=r^2+\frac{3}{2},$

$-2c_1{\left(r+1\right)}^2+4c_2\left(x_2^2-y_2^2\right)+4c_3{x}_3^2-4c_4{y}_4^2-4c_5{y}_5^2=\mathrm{0,}$

$4c_3{z}_3^2+4c_4{z}_4^2+4c_5{z}_5^2=\frac{1}{2},$   (2.1)

$2c_1{(r+1)}^4+4c_2(x_2^4+y_2^4)+4c_3{x}_3^4+4c_4{y}_4^4+4c_5{y}_5^4=\frac{3}{4}{r}^4+\frac{15}{4}{r}^2+\frac{45}{32},$

$-2c_1{(r+1)}^4+4c_2\left(x_2^4-y_2^4\right)+4c_3{x}_3^4-4c_4{y}_4^4-4c_5{y}_5^4=\mathrm{0,}$

$4c_3{z}_3^2{x}_3^2+4c_4{z}_4^2{y}_4^2+4c_5{z}_5^2{y}_5^2=\frac{1}{2}{r}^2+\frac{3}{8},$

$4c_3{z}_3^2{x}_3^2-4c_4{z}_4^2{y}_4^2-c_5{z}_5^2{y}_5^2=\mathrm{0,}$

$4c_2{x}_2^2{y}_2^2=\frac{1}{8}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{15}{64}.$

Складывая второе и третье, пятое и шестое, седьмое и восьмое уравнения и принимая во внимание, что узлы лежат на поверхности тора и, следовательно, $z_i^2=1-{(x_i-r)}^2$ для $i=\mathrm{4,5,}$ и $z_6^2=1-{(y_6-r)}^2,$ получаем

$8c_2{x}_2^2+8c_3{x}_3^2=r^2+\frac{3}{2},4c_2{x}_2^4+8c_3{x}_3^4=\frac{3}{4}{r}^4+\frac{15}{4}{r}^2+\frac{45}{32},$

$8c_3\left(1-{(x_3-r)}^2\right)x_3^2=\frac{r^2}{2}+\frac{3}{8},4c_2{x}_2^2\left({(r+1)}^2-x_2^2\right)=\frac{1}{8}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{15}{64}.$

Отсюда можно найти $x_2\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{x}_3\mathrm{,}{c}_3$:

$x_2=\frac{2\sqrt{32r^6-24r^4+36r^2-9}}{128r^6-96r^4+144r^2-36}$

$\times \sqrt{32r^8+448r^7-972r^4-616r^6+816r^5+18r+888r^3-207r^2-36},$

$c_2=\frac{1}{48}\frac{{(32r^6-24r^4+36r^2-9)}^2}{r(2r-1)(2r^2-3r+2)}$

$\times \frac{1}{(32r^8+448r^7-972r^4-616r^6+816r^5+18r+888r^3-207r^2-36)},$

$x_3=\frac{8r^4-12r-16r^3+3+24r^2}{8r^3-12r^2+12r-3},$

$c_3=\frac{1}{192}\frac{{(8r^3-12r^2+12r-3)}^4}{(4r^3-8r^2+7r-2)r{(8r^4-12r-16r^3+3+24r^2)}^2}.$

Подставляя найденные значения $x_2\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{x}_3\mathrm{,}{c}_3$ в систему (2.1) и преобразовывая ее, получим систему из пяти уравнений для нахождения $c_1\mathrm{,}{y}_4\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{y}_5\mathrm{,}{c}_5\mathrm{.}$ Так как для произвольного  система выглядит очень громоздко, приведем пример ее решения для $r=1$:

$2c_1+4c_4+4c_5=19077/\mathrm{41552,}$

$8c_1+8c_4{y}_4+8c_5{y}_5=3429/\mathrm{2968,}$

$8c_1+4c_4{y}_4^2+4c_5{y}_5^2=745/\mathrm{848,}$          (2.2)

$32c_1+8c_4{y}_4^3+8c_5{y}_5^3=1225/\mathrm{424,}$

$32c_1+4c_4{y}_4^4+4c_5{y}_5^4=2079/848.$

Выразим $c_1\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{c}_5$ из первых трех уравнений (2.2) и подставим в два последних. Теперь получим, что левые части последних уравнений есть симметрические многочлены относительно $y_4$ и $y_5\mathrm{.}$ Для того, чтобы решить полученную нелинейную систему двух уравнений, произведем подстановку

$y_4+y_5=a_1,y_4{y}_5=a_2.$

Решая преобразованную систему, получим $a_1=392/\mathrm{187,}$ $a_2=147/187.$ И так как решением исходной системы являются корни квадратного уравнения $y^2-a_{1}y+a_2=\mathrm{0,}$ имеем $y_{\mathrm{4,}5}=\left(196\pm 7\sqrt{223}\right)/187.$ Далее находим значения $c_1\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{c}_5$:

$c_1=\frac{2261}{94128},c_4=\frac{35773}{696192}+\frac{117925}{155250816}\sqrt{223},c_5=\frac{35773}{696192}-\frac{117925}{155250816}\sqrt{223}.$

Исследуем решение системы (2.1) в зависимости от произвольного параметра r. Коэффициенты $c_2\mathrm{,}{c}_3\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{c}_5$ положительны для любого r, а коэффициент $c_1$меняет знак

$c_1>0при1\le r<\mathrm{1,4981};$

$c_1=0приr=\mathrm{1,4981};$

$c_1<0приr>\mathrm{1,4981.}-\mathrm{0,7}ex$

Таким образом, при $r=\mathrm{1,4981}$ значение $c_1$ равно нулю и кубатурная формула содержит 16 узлов. Примеры построенных инвариантных формул пятой степени точности для разных радиусов приведены в табл. 1–3.

 

Таблица 1. Узлы и коэффициенты кубатурной формулы 5-й степени точности при $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Узлы	Число точек в орбите	Коэффициенты
$\left(0;2;0\right)$	2	$\frac{2261}{94128}$
$(\frac{\sqrt{265}}{10};\frac{3\sqrt{15}}{10};0)$	4	$\frac{175}{2544}$
$(\frac{7}{5};0;\frac{\sqrt{21}}{5})$	4	$\frac{625}{9408}$
$(0;\frac{196+7\sqrt{223}}{187};\frac{\sqrt{23961-126\sqrt{223}}}{187})$	4	$\frac{35773}{696192}+\frac{117925\sqrt{223}}{155250816}$
$(0;\frac{196-7\sqrt{223}}{187};\frac{\sqrt{23961+126\sqrt{223}}}{187})$	4	$\frac{35773}{696192}-\frac{117925\sqrt{223}}{155250816}$

 

Таблица 2. Узлы и коэффициенты кубатурной формулы 5-й степени точности при $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{2}$

Узлы	Число точек в орбите	Коэффициенты
$\left(0;3;0\right)$	2	$-\mathrm{0,0420}$
$\left(\mathrm{2,443};\mathrm{1,7412};0\right)$	4	$\mathrm{0,0654}$
$(\mathrm{2,0270};0;\mathrm{0,9996})$	4	$\mathrm{0,0723}$
$(0;\mathrm{2,7395};\mathrm{0,6731})$	4	$\mathrm{0,0808}$
$\left(0;\mathrm{1,1677};\mathrm{0,5544}\right)$	4	$\mathrm{0,0525}$

 

Таблица 3. Узлы и коэффициенты кубатурной формулы 5-й степени точности при $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{100}$

Узлы	Число точек в орбите	Коэффициенты
$\left(0;101;0\right)$	2	$-\mathrm{0,2154}$
$\left(\mathrm{53,3428};\mathrm{85,7644};0\right)$	4	$\mathrm{0,1494}$
$(\mathrm{99,5076};0;\mathrm{0,8704})$	4	$\mathrm{0,0833}$
$(0;\mathrm{100,5075};\mathrm{0,8616})$	4	$\mathrm{0,0833}$
$\left(0;\mathrm{99,0000};\mathrm{0,0112}\right)$	4	$\mathrm{0,0416}$

 

3. Построение инвариантной кубатурной формулы 7-й степени точности

 В этом случае базисными инвариантными формами относительно G для T будут многочлены:

$u_1=\mathrm{1,}{u}_2=x^2+y^2,u_3=x^2-y^2,u_4=z^2,u_5={(x^2+y^2)}^2,u_6={(x^2-y^2)}^2,u_7=x^4-y^4,$

$u_8=z^2(x^2+y^2),u_9=z^2(x^2-y^2),u_{10}={(x^2-y^2)}^3,u_{11}={(x^2+y^2)}^3,u_{12}={(x^2-y^2)}^2(x^2+y^2),$

$u_{13}={(x^2+y^2)}^2(x^2-y^2),u_{14}=z^2{(x^2+y^2)}^2,u_{15}=z^2{(x^2-y^2)}^2,u_{16}=z^2(x^4-y^4).$

В качестве узлов возьмем орбиты точек

$(r+1;0;0),(0;r+1;0),(\frac{r+1}{\sqrt{2}};\frac{r+1}{\sqrt{2}};0),(x_4;x_4;z_4),(x_5;0;z_5),$

$(x_6;0;z_6),(0;y_7;z_7),(0;y_8;z_8),(0;y_9;z_9).$

Получаемое число узлов равно $N=36$ (нижняя граница числа узлов 26). Ранее в [8] была построена формула с 40 узлами. Приходим к следующей системе

$2c_1+2c_2+4c_3+8c_4+4c_5+4c_6+4c_7+4c_8+4c_9=\mathrm{1,}$

$2c_1{(r+1)}^2+2c_2{(r+1)}^2+4c_3{(r+1)}^2+16c_4{x}_4^2+4c_5{x}_5^2+4c_6{x}_6^2+4c_7{y}_7^2+4c_8{y}_8^2+4c_9{y}_9^2$

$=r^2+\frac{3}{2},$

$2c_1{(r+1)}^2-2c_2{(r+1)}^2+4c_5{x}_5^2+4c_6{x}_6^2-4c_7{y}_7^2-4c_8{y}_8^2-4c_9{y}_9^2=\mathrm{0,}$

$8c_4{z}_4^2+4c_5{z}_5^2+4c_6{z}_6^2+4c_7{z}_7^2+4c_8{z}_8^2+4c_9{z}_9^2=\frac{1}{2},$

$2c_1{(r+1)}^4+2c_2{(r+1)}^4+4c_3{(r+1)}^4+32c_4{x}_4^4+4c_5{x}_5^4+4c_6{x}_6^4+4c_7{y}_7^4+4c_8{y}_8^4+4c_9{y}_9^4$

$=r^4+5r^2+\frac{15}{8},$

$2c_1{(r+1)}^4+2c_2{(r+1)}^4+4c_5{x}_5^4+4c_6{x}_6^4+4c_7{y}_7^4+4c_8{y}_8^4+4c_9{y}_9^4=\frac{1}{2}{r}^4+\frac{5}{2}{r}^2+\frac{15}{16},$

$2c_1{(r+1)}^4-2c_2{(r+1)}^4+4c_5{x}_5^4+4c_6{x}_6^4-4c_7{y}_7^4-4c_8{y}_8^4-4c_9{y}_9^4=\mathrm{0,}$

$16c_4{z}_4^2{x}_4^2+4c_5{z}_5^2{x}_5^2+4c_6{z}_6^2{x}_6^2+4c_7{z}_7^2{y}_7^2+4c_8{z}_8^2{y}_8^2+4c_9{z}_9^2{y}_9^2=\frac{1}{2}{r}^2+\frac{3}{8},$

$4c_5{z}_5^2{x}_5^2+4c_6{z}_6^2{x}_6^2-4c_7{z}_7^2{y}_7^2-4c_8{z}_8^2{y}_8^2-4c_9{z}_9^2{y}_9^2=\mathrm{0,}$

$2c_1{(r+1)}^6-2c_2{(r+1)}^6+4c_5{x}_5^6+4c_6{x}_6^6-4c_7{y}_7^6-4c_8{y}_8^6-4c_9{y}_9^6=\mathrm{0,}$

$2c_1{(r+1)}^6+2c_2{(r+1)}^6+4c_3{(r+1)}^6+64c_4{x}_4^6+4c_5{x}_5^6+4c_6{x}_6^6+4c_7{y}_7^6+4c_8{y}_8^6+4c_9{y}_9^6$

$=r^6+\frac{21}{2}{r}^4+\frac{105}{8}{r}^2+\frac{35}{16},$

$2c_1{(r+1)}^6+2c_2{(r+1)}^6+4c_5{x}_5^6+4c_6{x}_6^6+4c_7{y}_7^6+4c_8{y}_8^6+4c_9{y}_9^6$

$=\frac{1}{2}{r}^6+\frac{21}{4}{r}^4+\frac{105}{16}{r}^2+\frac{35}{32},$

$2c_1{(r+1)}^6-2c_2{(r+1)}^6+4c_5{x}_5^6+4c_6{x}_6^6-4c_7{y}_7^6-4c_8{y}_8^6-4c_9{y}_9^6=\mathrm{0,}$

$32c_4{z}_4^2{x}_4^4+4c_5{z}_5^2{x}_5^4+4c_6{z}_6^2{x}_6^4+4c_7{z}_7^2{y}_7^4+4c_8{z}_8^2{y}_8^4+4c_9{z}_9^2{y}_9^4=\frac{1}{2}{r}^4+\frac{5}{4}{r}^2+\frac{5}{16},$

$4c_5{z}_5^2{x}_5^4+4c_6{z}_6^2{x}_6^4+4c_7{z}_7^2{y}_7^4+4c_8{z}_8^2{y}_8^4+4c_9{z}_9^2{y}_9^4=\frac{1}{4}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{5}{32},$

$4c_5{z}_5^2{x}_5^4+4c_6{z}_6^2{x}_6^4-4c_7{z}_7^2{y}_7^4-4c_8{z}_8^2{y}_8^4-4c_9{z}_9^2{y}_9^4=0.$

Орбиты точек специально подобраны так, чтобы 10-е и 13-е уравнения системы совпали. Так как узлы лежат на поверхности тора, то $z_4^2=1-{(x_4\sqrt{2}-r)}^2,$$z_i^2=1-{(x_i-r)}^2$ при $i=\mathrm{5,}\mathrm{6,}$ и $z_j^2=1-{(y_j-r)}^2$ при $j=\mathrm{7,}\mathrm{8,}9.$

В итоге рассматриваемая система состоит из 15 уравнений с 15 неизвестными. Разобьем эту систему на две подсистемы из восьми и семи уравнений. Из первой подсистемы, имеющей вид

$4c_1{(r+1)}^2+4c_3{(r+1)}^2+16c_4{x}_4^2+8c_5{x}_5^2+8c_6{x}_6^2=r^2+\frac{3}{2},$

$4c_3{(r+1)}^4+32c_4{x}_4^4=\frac{1}{2}{r}^4+\frac{5}{2}{r}^2+\frac{15}{16},$

$16c_4{z}_4^2{x}_4^2+8c_5{z}_5^2{x}_5^2+8c_6{z}_6^2{x}_6^2+=\frac{1}{2}{r}^2+\frac{3}{8},$

$4c_1{(r+1)}^6+4c_3{(r+1)}^6+64c_4{x}_4^6+8c_5{x}_5^6+8c_6{x}_6^6=r^6+\frac{21}{2}{r}^4+\frac{105}{8}{r}^2+\frac{35}{16},$

$4c_3{(r+1)}^6+64c_4{x}_4^6=\frac{1}{2}{r}^6+\frac{21}{4}{r}^4+\frac{105}{16}{r}^2+\frac{35}{32},$

$4c_1{(r+1)}^6+8c_5{x}_5^6+8c_6{x}_6^6=\frac{1}{2}{r}^6+\frac{21}{4}{r}^4+\frac{105}{16}{r}^2+\frac{35}{32},$

$32c_4{z}_4^2{x}_4^4=\frac{1}{4}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{5}{32},$

$8c_5{z}_5^2{x}_5^4+8c_6{z}_6^2{x}_6^4=\frac{1}{4}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{5}{32},$

найдем $c_1\mathrm{,}{c}_3\mathrm{,}{c}_4\mathrm{,}{x}_4\mathrm{,}{c}_5\mathrm{,}{x}_5\mathrm{,}{c}_6\mathrm{,}{x}_6\mathrm{.}$

Вторая подсистема имеет вид

$2c_1+2c_2+4c_3+8c_4+4c_5+4c_6+4c_7+4c_8+4c_9=\mathrm{1,}$

$4c_2{(r+1)}^2+4c_3{(r+1)}^2+16c_4{x}_4^2+8c_7{y}_7^2+8c_8{y}_8^2+8c_9{y}_9^2=r^2+\frac{3}{2},$

$8c_4{z}_4^2+4c_5{z}_5^2+4c_6{z}_6^2+4c_7{z}_7^2+4c_8{z}_8^2+4c_9{z}_9^2=\frac{1}{2},$

$4c_2{(r+1)}^4+4c_3{(r+1)}^4+8c_7{y}_7^4+8c_8{y}_8^4+8c_9{y}_9^4=\frac{1}{2}{r}^4+\frac{5}{2}{r}^2+\frac{15}{16},$

$16c_4{z}_4^2{x}_4^2+8c_7{z}_7^2{y}_7^2+8c_8{z}_8^2{y}_8^2+8c_9{z}_9^2{y}_9^2=\frac{1}{2}{r}^2+\frac{3}{8},$

$4c_2{(r+1)}^6+4c_3{(r+1)}^6+64c_4{x}_4^6++4c_7{y}_7^6+4c_8{y}_8^6+4c_9{y}_9^6=r^6+\frac{21}{2}{r}^4+\frac{105}{8}{r}^2+\frac{35}{16},$

$8c_7{z}_7^2{y}_7^4+8c_8{z}_8^2{y}_8^4+8c_9{z}_9^2{y}_9^4=\frac{1}{4}{r}^4+\frac{5}{8}{r}^2+\frac{5}{32}.$

Из этих соотношений получаем значения $c_2\mathrm{,}{c}_7\mathrm{,}{y}_7\mathrm{,}{c}_8\mathrm{,}{y}_8\mathrm{,}{c}_9\mathrm{,}{y}_9\mathrm{.}$

При решении данных подсистем применяем замену переменных, подобную той, которая приведена в предыдущем пункте 2. Примеры построенных инвариантных формул седьмой степени точности для разных радиусов приведены в табл. 4–5.

 

Таблица 4. Узлы и коэффициенты кубатурной формулы 7-й степени точности при $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Узлы	Число точек в орбите	Коэффициенты
$\left(2;0;0\right)$	2	$\mathrm{0,02344}$
$\left(0;2;0\right)$	2	$-\mathrm{0,00166}$
$(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2;0)$	4	$77/20248$
$\left(11\sqrt{2}/14;11\sqrt{2}/14;\sqrt{22/49}\right)$	8	$117649/3748096$
$\left(\frac{2178+11\sqrt{4659}}{1645};0;\frac{\sqrt{1858197-11726\sqrt{4659}}}{1645}\right)$	4	$\mathrm{0,02866}$
$\left(\frac{2178-11\sqrt{4659}}{1645};0;\frac{\sqrt{1858197+11726\sqrt{4659}}}{1645}\right)$	4	$\mathrm{0,02927}$
$\left(0;\mathrm{0,2714};\mathrm{0,6849}\right)$	4	$\mathrm{0,01614}$
$\left(0;\mathrm{1,0314};\mathrm{0,9995}\right)$	4	$\mathrm{0,02756}$
$(0;\mathrm{1,8910};\mathrm{0,4538})$	4	$\mathrm{0,03708}$

 

Таблица 5. Узлы и коэффициенты кубатурной формулы 7-й степени точности при $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{2}$

Узлы	Число точек в орбите	Коэффициенты
$\left(3;0;0\right)$	2	$\mathrm{0,01428}$
$\left(0;3;0\right)$	2	$-\mathrm{0,14690}$
$(3\sqrt{2}/2;3\sqrt{2}/2;0)$	4	$18823/525312$
$\left(\frac{251\sqrt{2}}{218};\frac{251\sqrt{2}}{218};\frac{2\sqrt{2698}}{109}\right)$	8	$5031300332523/154446630950912$
$\left(\mathrm{2,7366};0;\mathrm{0,6762}\right)$	4	$\mathrm{0,02974}$
$\left(\mathrm{1,3464};0;\mathrm{0,7568}\right)$	4	$\mathrm{0,03668}$
$\left(0;\mathrm{1,0050};\mathrm{0,1003}\right)$	4	$\mathrm{0,01902}$
$\left(0;\mathrm{1,7255};\mathrm{0,9615}\right)$	4	$\mathrm{0,02467}$
$(0;\mathrm{2,9602};\mathrm{0,2791})$	4	$\mathrm{0,10520}$

 

Заключение

В работе построены инвариантные кубатурные формулы пятой и седьмой степени точности для интегралов по поверхности тора в ${ℝ}^3\mathrm{.}$ Число узлов в данных формулах меньше, чем в построенных ранее, и приближено к минимальному. Показано, что существование и свойства инвариантных кубатурных формул для тора зависят от r.

About the authors

Irina M. Fedotova

Siberian Federal University

Author for correspondence.
Email: firim@mail.ru

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics and Data Analysis Department

Russian Federation, 79 Svobodny Pr., Krasnoyarsk 660041

Maria I. Medvedeva

Siberian Federal University

Email: mimedvedeva@rambler.ru

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics and Data Analysis Department

Russian Federation, 79 Svobodny Pr., Krasnoyarsk 660041

Anastasiya S. Katsunova

Siberian Federal University

Email: akatsunova@sfu-kras.ru
ORCID iD: 0000-0003-1875-4188

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics and Data Analysis Department

Russian Federation, 79 Svobodny Pr., Krasnoyarsk 660041

References

Supplementary files