On well-posedness of a mathematical model of evoked activity in the primary visual cortex

Full Text

Введение

Зрительная кора является одной из наиболее изученных нейрофизиологами структур головного мозга. «Зрительный путь» начинается от светочувствительных и ганглинарных клеток сетчатки и, продолжаясь в коленчатые ядра зрительных бугров, заканчивается в первичной зрительной коре.

Функциональная микроструктура первичной зрительной коры была открыта Д. Хьюбелом и Т. Визелем [1], получившими за это в 1981 году Нобелевскую премию. Несмотря на существенную по времени историю вопроса, до сих пор продолжаются исследования структуры и функций зрительной коры. Открытие Хьюбелом и Визелем ориентационных колонок, отвечающих за избирательное восприятие направленных линий, расположенных параллельно корковой поверхности, позже было дополнено идентификацией объединяющих их гиперколонок. Если активность нейронов ориентационных колонок возможно регистрировать внутриклеточными электродами, то гиперколонки можно идентифицировать только при оптическом картировании [2].

Наряду с визуализацией гиперколонок, оптическое картирование выявило синхронную работу больших популяций нейронов в виде электрической активации, распространяющейся вдоль поверхности коры [3]. Подобная активация обладает богатой пространственно-временной динамикой, включающей сложные и разнообразные волновые паттерны, такие как бегущие и спиральные волны [4]. Ввиду обусловленности данной активности синхронизацией нейронов на значительных площадях коры, она может быть зарегистрирована макроэлектродами (ЭЭГ) или магнитными датчиками (МЭГ). Таким образом, имеется возможность судить о работе функциональной микроструктуры зрительной коры, например, на основании взаимодействия с ней двумерных волн электрических потенциалов, регистрируемых МЭГ и ЭЭГ [5].

Целью данной работы является построение математической модели динамики электрических потенциалов в первичной зрительной коре испытуемых при предъявлении им визуальных стимулов (в том числе задействующих ориентационные колонки пространственно ориентированных стимулов).

Основой используемого математического аппарата является следующая модель двухслойного нейронного поля, формализующая электрическую активность первичной зрительной коры головного мозга, предложенная в работе [6] и изученная с математической точки зрения в [7]:

 $\begin{array}{ll}{\partial }_t{u}_d(t,x)\text{}=\text{}-{\tau }_d{u}_d(t,x)+\underset{\Omega }{\int }{\omega }_d(x,y)f_d\left(u_d\right(t,y\left)\right)dy+{\nu }_d\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}_s\left(u_s\right(t,x,\psi \left)\right)d\psi ,& \\ {\partial }_t{u}_s(t,x,\phi )=-{\tau }_s{u}_s(t,x,\phi )+\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\omega }_s(x,\phi ,y,\psi )f_s\left(u_s\right(t,y,\psi \left)\right)d\psi dy+{\nu }_s{f}_d\left(u_d\right(t,x\left)\right).& \end{array}$       (0.1)

Здесь $u_d(t,x)$ и $u_s(t,x,\phi )$ — уровни активности, соответственно, ориентационно-независимого глубокого слоя и ориентационно-зависимого поверхностного слоя зрительной коры. Скорости процессов активации в слоях определяются временными константами ${\tau }_{\text{d}}$ и ${\tau }_{\text{s}}\mathrm{,}$ связи нейронов внутри каждого из слоев формализуются при помощи функций ${\omega }_{\text{d}}$ и ${\omega }_{\text{s}}\mathrm{.}$ Степень воздействия активности глубокого слоя на активность поверхностного слоя представлена коэффициентом ${\nu }_{\text{d}}\mathrm{,}$ степень обратно направленного воздействия — коэффициентом ${\nu }_{\text{s}}\mathrm{.}$ Функции $f_{\text{d}}\mathrm{,}{f}_{\text{s}}$ — вероятностные функции активации в глубоком и поверхностном слоях модели, соответственно. В математической нейробиологии стандартно предполагается, что функции связи ${\omega }_i$ являются экспоненциально убывающими функциями расстояния в нейронном поле (или линейными комбинациями таких функций), функции активации $f_i$ представлены непрерывными функциями сигмоидальной формы $(i=d,s).$

Рассмотрим формализацию воздействия на активность функциональной микроструктуры зрительной коры в виде следующей задачи импульсного управления в задаче Коши для системы (0.1) с начальным условием $\left(u_d\right(\mathrm{0,}x),u_s(\mathrm{0,}x,\phi \left)\right)=\left({\widehat{u}}_d\right(x),{\widehat{u}}_s(x,\phi \left)\right)$:

$u_d(t,x)={\widehat{u}}_d\left(x\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{\Omega }{\int }{e}^{-{\tau }_d(t-s)}{\omega }_d(x,y)f_d\left(u_d\right(t,y\left)\right)dyds$

$+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-{\tau }_d(t-s)}{\nu }_d{f}_s\left(u_s\right(t,x,\psi \left)\right)d\psi ds,$ (2)

$u_s(t,x,\phi )={\widehat{u}}_s(x,\phi )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-{\tau }_s(t-s)}{\omega }_s(x,\phi ,y,\psi )f_s\left(u_s\right(t,y,\psi \left)\right)d\psi dyds$

$+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-{\tau }_s(t-s)}{\nu }_s{f}_d\left(u_d\right(t,x\left)\right)ds+U(t,x,\phi ).$

Здесь $U=U(t,x,\phi )$ — импульсное управление, которое может иметь разрывы по переменной времени t.

В данной работе получены результаты об однозначной разрешимости системы (0.2) и непрерывной зависимости решения от управления U.

1. Основной результат

Обозначим через $\mathbb{N}$ множество натуральных чисел, через ${ℝ}^n$ — n-мерное вещественное векторное пространство с нормой $|\cdot |.$ Для компакта $\Omega \subset {ℝ}^2$ обозначим через $C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],{ℝ}^2)$ пространство непрерывных функций $v:\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to {ℝ}^2,$ удовлетворяющих условию $\text{}\underset{\phi \to -\frac{\pi }{2}+0}{lim}\text{}v(\cdot ,\phi )\equiv v(\cdot ,\frac{\pi }{2}),$ с нормой $\parallel v{\parallel }_{C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],{ℝ}^2)}=\text{}\underset{x\in \Omega ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|v\right(x,\phi \left)\right|.$

Относительно системы (0.2) будем предполагать, что 

(A_w) Функции связи ${\omega }_d:\Omega \times \Omega \to ℝ,$ ${\omega }_s:\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\times \Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ$ непрерывны, функция ${\omega }_{\text{s}}$ интегрируема (по Лебегу) по четвертому аргументу и удовлетворяет условию $\underset{\phi \to -\frac{\pi }{2}+0}{lim}{\omega }_s(\cdot ,\phi ,\cdot ,\cdot )\equiv {\omega }_s(\cdot ,\frac{\pi }{2},\cdot ,\cdot ).$ 

(A_f) Функции активации $f_d,f_s:ℝ\to \left[\mathrm{0,1}\right]$ липшицевы.

(A_u) Управление U имеет вид: $U(t,x,\phi )={\sum }_{\forall k}{\chi }_{A_k}\left(t\right){\vartheta }_k(x,\phi ),$ $A_k\subset [\mathrm{0,}\infty )$ – полуинтервалы вида $A_k=[a_k,b_k),$ такие что $b_k\le a_{k+1}$ для любого $k\in \mathbb{N}$; ${\chi }_{A_k}$ – характеристическая функция множеста $A_k$; функции ${\vartheta }_k\in C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ),$ ${\vartheta }_k(\cdot ,\cdot )\cancel{\equiv }\mathrm{0,}$ $k\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ формализуют импульсные воздействия (естественным образом предполагаем, что если для некоторого $k\in \mathbb{N}$ имеет место $b_k=a_{k+1},$ то ${\vartheta }_k\ne {\vartheta }_{k+1}$); при этом для любого $T>0$ существует такое $k_T\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ что $\max \{k:A_k\cap [\mathrm{0,}T]\ne \varnothing \}\le k_T.$

Определим множество $M_{\infty }=M_{\infty }\left(\right[\mathrm{0,}\infty ),C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],{ℝ}^2\left)\right)$ функций, имеющих вид $u={(\xi ,\zeta +\eta )}^T,$ где функции $\xi :[\mathrm{0,}\infty )\times \Omega \to ℝ,$ $\zeta :[\mathrm{0,}\infty )\times \Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ$ непрерывны, функция $\eta :[\mathrm{0,}\infty )\times \Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ,$ $\eta (t,x,\phi )={\sum }_{\forall k}{\chi }_{A_k}\left(t\right){\vartheta }_k(x,\phi ),$ удовлетворяет условию $\left(A_u\right).$

Для произвольного $T>0$ обозначим через $M_T=M_T\left(\right[\mathrm{0,}T],C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],{ℝ}^2\left)\right)$ множество сужений на $\left[\mathrm{0,}T\right]$ функций из $M\infty \mathrm{.}$ Покажем, что множество $M_T$ образует полное метрическое пространство относительно метрики

${\rho }_{M\left(\right[\mathrm{0,}T\left]\right)}(u^1,u^2)=\parallel {\xi }^1-{\xi }^2{\parallel }_{C\left(\right[\mathrm{0,}T]\times \Omega ,ℝ)}+\parallel {\zeta }^1-{\zeta }^2{\parallel }_{C\left(\right[\mathrm{0,}T]\times \Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)}$ 

$+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel \sum _{k:A_k^1\cap \left[\mathrm{0,}T\right]\ne \varnothing }{\chi }_{A_k^1}\left(t\right){\vartheta }_k^1(\cdot ,\cdot )-\sum _{k:A_k^2\cap \left[\mathrm{0,}T\right]\ne \varnothing }{\chi }_{A_k^2}\left(t\right){\vartheta }_k^2(\cdot ,\cdot ){\parallel }_{C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)}dt.$(1.1)

Будем говорить, что $\kappa \in C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)$ является существенным значением отображения $U:\left[\mathrm{0,}T\right]\to C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ),$ если найдется такое $t_0\in \left[\mathrm{0,}T\right],$ что $\kappa =U\left(t_0\right),$ и существует такое $\delta >\mathrm{0,}$ что $U\left(t\right)=U\left(t_0\right)$ для всех $t\in (t_0-\delta ,t_0+\delta )\cap \left[\mathrm{0,}T\right].$

По определению, каждое управление задается совокупностью полуинтервалов $A_k$ (отвечающих временным интервалам предъявления стимулов) и соответствующих им ненулевых существенных значений ${\vartheta }_k$ отображения $U:\left[\mathrm{0,}T\right]\to C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)$ (характеризующих предъявляемые стимулы). Пусть отображение $U_{(K+1)}:\left[\mathrm{0,}T\right]\to C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)$ имеет $\text{K}+1$ ненулевых существенных значений на отрезке $\left[\mathrm{0,}T\right].$ Покажем, что оно не может быть пределом последовательности управлений, имеющих не более K ненулевых существенных значений на отрезке $\left[\mathrm{0,}T\right].$ Выберем $\epsilon <dM,$ где

$d=\min \left\{\underset{i=\mathrm{1,...,}K}{min}\right(\parallel {\vartheta }_i-{\vartheta }_{i+1}{\parallel }_{C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)}),\underset{i=\mathrm{1,...,}K+1}{min}(\parallel {\vartheta }_i\parallel \left)\right\},$

$M=\min \left\{\underset{k=\mathrm{1,...,}K+1}{min}\right(\mu \left(A_k\right)),\underset{\forall i}{min}(\mu \left(D_i\right)\left)\right\},$

где $D_i\subset \left[\mathrm{0,}T\right]\backslash \underset{k=1}{\overset{K+1}{\cup }}{A}_k.$ Мы получаем, что для любого отображения $U_{\le K}:\left[\mathrm{0,}T\right]\to C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ),$ имеющего не более K ненулевых существенных значений на отрезке $\left[\mathrm{0,}T\right],$ выполнено неравенство $\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel U_{(K+1)}\left(t\right)-U_{(\le K)}\left(t\right){\parallel }_{C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],ℝ)}dt>\epsilon .$

Следовательно, отображение, имеющее на $\left[\mathrm{0,}T\right]$ ровно $\text{K}+1$ ненулевых существенных значений, не может быть пределом последовательности отображений, имеющих не более K ненулевых существенных значений на $\left[\mathrm{0,}T\right],$ и множество $M_T$ образует полное метрическое пространство относительно метрики (1.1).

Последнее означает, что множество $M_{\infty }$ можно снабдить топологией сходимости по метрике (1.1) на каждом из его подмножеств $M_T,T>0.$

Будем считать глобальным решением системы (0.2) вектор-функцию $\text{u}\in M_{\infty }\mathrm{,}$ компоненты которой удовлетворяют уравнениям (0.2). Для всякого $T>0$ назовем T-локальным решением (0.2) функцию ${\text{u}}_T\in M_T\mathrm{,}$ удовлетворяющую уравнениям (0.2) на множестве $\left[\mathrm{0,}T\right]\times \Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия ${\mathit{A}}_f$ и ${\mathit{A}}_{\omega }.$ Тогда для любого управления U, удовлетворяющего условию ${\mathit{A}}_u,$ существует единственное глобальное решение системы (0.2), и всякое T-локальное решение (0.2) является его частью. Пусть также при всех $T>0$ выполнено условие

$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{x\in \Omega ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|U^i\right(t,x,\phi )-U^0(t,x,\phi \left)\right|dt\to 0приi\to \infty .& & & \end{array}$

Тогда последовательность решений ${\text{u}}^i\mathrm{,}$ соответствующих управлениям $U^i\mathrm{,}$ сходится в топологии пространства $M_{\infty }$ к решению ${\text{u}}^0\mathrm{,}$ соответствующему управлению $U^0\mathrm{.}$

Доказательство. Перепишем систему (0.2) в виде:

$u(t,x,\phi )=\widehat{u}(x,\phi )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W(t,s,x,y,\phi ,\psi )F\left(u\right(s,y,\psi \left)\right)d\psi dyds+\lambda (t,x,\phi ),$

где

$u(t,x,\phi )=\left(\begin{array}{cccc}{u}_d(t,x)& & & \\ u_s(t,x,\phi )& & & \\ & & & \end{array}\right),\widehat{u}(x,\phi )=\left(\begin{array}{cccc}{\widehat{u}}_d\left(x\right)& & & \\ {\widehat{u}}_s(x,\phi )& & & \\ & & & \end{array}\right),$

$\lambda (t,x,\phi )=\left(\begin{array}{cccc}0& & & \\ \sum _{k:A_k\cap \left[\mathrm{0,}T\right]\ne \varnothing }{\chi }_{A_k}\left(t\right){\vartheta }_k(x,\phi )& & & \\ & & & \end{array}\right),F\left(u\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_d\left(u_d\right)& \\ f_s\left(u_s\right)& \\ & \end{array}\right),$

$W(t,s,x,y,\phi ,\psi )=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{-{\tau }_d(t-s)}& 0& & \\ 0& e^{-{\tau }_s(t-s)}& & \\ & & & \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\omega }_d(x,y)/\pi & {\nu }_s\delta (x-y)& & \\ {\nu }_d\delta (x-y)& {\omega }_s(x,\phi ,y,\psi )/\pi & & \end{array}\right),$

где символом $\delta (\cdot )$ обозначена дельта-функция Дирака.

Зафиксируем произвольное $T>0.$ Определим оператор $M:M_T\times M_T\to M_T,$ 

$\left(F\right(u,\lambda \left)\right)(t,x,\phi )=\widehat{u}(x,\phi )+\text{}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W(t,s,x,y,\phi ,\psi )F\left(u\right(s,y,\psi \left)\right)d\psi dyds+\lambda (t,x,\phi )$

и при произвольном $\lambda \in M_T$ рассмотрим операторное уравнение (относительно неизвестного $\text{u}\in M_T$)

$u=F(u,\lambda ).$ (1.2)

Покажем справедливость следующих утверждений.

1. Существуют такие $q<\mathrm{1,}$ $\sigma >\mathrm{0,}$ что для любого $\widehat{t}\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ и всех ${\text{u}}^1\mathrm{,}{\text{u}}^2\in M_T\mathrm{,}$ $u^1(\widehat{t},\cdot ,\cdot )\equiv u^2(\widehat{t},\cdot ,\cdot )$ имеет место

$\underset{t\in [\widehat{t},\widehat{t}+\sigma ],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|\underset{\widehat{t}}{\overset{\widehat{t}+\sigma }{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W\right(t,s,x,y,\phi ,\psi \left)F\right(u^1(s,y,\psi ))d\psi dyds$

$-\underset{\widehat{t}}{\overset{\widehat{t}+\sigma }{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W(t,s,x,y,\phi ,\psi )F\left(u^2\right(s,y,\psi \left)\right)d\psi dyds|$

$\le q\underset{t\in [\widehat{t},\widehat{t}+\sigma ],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|u^1\right(t,x,\phi )-u^2(t,x,\phi \left)\right|.$

2. Для произвольного $u\in M_T$ отображение $F{M}_T\times M_T\to M_T$ непрерывно в точке $(u,{\lambda }_0).$

Покажем, что первое утверждение справедливо. Имеем

$\underset{t\in [\widehat{t},\widehat{t}+\sigma ],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|\underset{\widehat{t}}{\overset{\widehat{t}+\sigma }{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W\right(t,s,x,y,\phi ,\psi \left)F\right(u^1(s,y,\psi ))d\psi dyds$

$-\underset{\widehat{t}}{\overset{\widehat{t}+\sigma }{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}W(t,s,x,y,\phi ,\psi )F\left(u^2\right(s,y,\psi \left)\right)d\psi dyds|$

$\le \underset{\widehat{t}}{\overset{\widehat{t}+\sigma }{\int }}\underset{\Omega }{\int }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left(W\right(t,s,x,y,\phi ,\psi \left)\right)$

$\times \underset{t\in [\widehat{t},\widehat{t}+\sigma ],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|F\right(u^1(s,y,\psi ))-F(u^2(s,y,\psi )\left)\right|d\psi dyds$

$\le \sigma G\mathcal{l}\underset{t\in [\widehat{t},\widehat{t}+\sigma ],x\in ℝ,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}{max}\left|u^1\right(t,x,\phi )-u^2(t,x,\phi \left)\right|,$

где $\mathcal{l}$ — константа Липшица отображения $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2.$

За счет выбора $\sigma >0$ для $q=\sigma G\mathcal{l}$ можно достичь неравенства $q<\mathrm{1,}$ следовательно, утверждение 1 доказано.

В силу задания метрики пространства $M_T$ равенством (1.1) для любого $\text{u}\in M_T$ имеет место ${\rho }_{M_T}\left(F\right(u,{\lambda }_i),F(u,{\lambda }_0\left)\right)\to 0$ при $\lambda \to {\lambda }_0\mathrm{.}$ То есть, утверждение 2 также справедливо.

Определим семейство v отношений эквивалентности $v\left(\gamma \right),$ $\gamma \in \left[\mathrm{0,1}\right],$ на множестве $M_T$ как равенство функций $u:\left[\mathrm{0,}T\right]\to C(\Omega \times (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\left]\right),{ℝ}^2)$ на отрезках $\left[\mathrm{0,}\gamma T\right].$ С учетом этого определения, утверждения 1 и 2 позволяют применить к операторному уравнению (1.2) теорему 2.2 работы [8], гарантирующую существование единственного решения этого операторного уравнения и, соответственно, системы (0.2), а также сходимость последовательности решений ${\text{u}}^i$ к решению ${\text{u}}^0$ при сходимости соответствующих функций управления $U^i$ к функции $U^0\mathrm{.}$  

About the authors

Evgenii O. Burlakov

Tyumen State University; Derzhavin Tambov State University

Author for correspondence.
Email: eb_@bk.ru
ORCID iD: 0000-0002-7286-9456

PhD, Researcher at the Insitute X-BIO

Russian Federation, 6 Volodarskogo St., Tyumen 625003; 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000

Vitaly M. Verkhlyutov

Institute of Higher Nervous Activity and Neurophysiology of RAS

Email: verkhliutov@ihna.ru
ORCID iD: 0000-0002-8353-6884

MD, Senior Researcher of Laboratory of Human Higher Nervous Activity

Russian Federation, 5A Butlerova St., Moscow 11748

Ivan N. Malkov

Tyumen State University; Derzhavin Tambov State University

Email: i.n.malkov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5845-5591

Post-Graduate Student, Institute of Mathematics and Computer Science

Russian Federation, 6 Volodarskogo St., Tyumen 625003; 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000

References

Supplementary files