Оценки фазовых траекторий управляемых систем с многозначными импульсными воздействиями

ассматривается управляемая система для дифференциального
уравнения $\dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t), \xi), \ \ t \in [a,b] , \ \ x(a)=\mathrm{x},$ где параметр $\xi$ является элементом некоторого заданного метрического пространства, управление $u$ удовлетворяет ограничению $u(t)\in U(t,x(t), \xi), \ \ t \in [a,b].$ Предполагается, что в каждый из заданных моментов времени $t_k\in (a,b)$ решение $x:[a,b]\to \mathbb{R}^n$ (фазовая траектория) терпит разрыв, величина которого принадлежит непустому компакту $I_k(x(t_k))\subset \mathbb{R}^n,$ а на промежутках $(t_{k-1},t_k]$ является абсолютно непрерывной функцией. Функция управления предполагается измеримой. Доказана теорема об оценке расстояния от заданной кусочно абсолютно непрерывной функции $y:[a,b]\to \mathbb{R}^n$  до множества фазовых траекторий при всех начальных значениях из окрестности вектора $x_0$ и всех параметрах из окрестности точки $\xi_0.$ Предполагается, что при заданных начальном значении $\mathrm{x}=x_0$ решения и значении $\xi=\xi_0$ параметра множество фазовых траекторий априорно ограничено. Доказанная теорема позволяет путем подбора  функции $y$ получить приближенное решение управляемой системы, а также оценку погрешности такого приближенного решения.