Том 28, № 143 (2023)

Рассматривается управляемая система со смешанными ограничениями типа равенств и концевыми ограничениями. Для нее в терминах обобщенного якобиана (производной Кларка) по переменной управления отображения, определяющего ограничения, получены достаточные условия существования непрерывных допустимых позиционных управлений. Доказательство соответствующей теоремы основано на сведении рассматриваемой управляемой системы к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем эта задача сводится к задаче о нахождении неподвижной точки непрерывной функции, определенной на конечномерном замкнутом шаре с последующим применением аналога теоремы Брауэра о неподвижной точке. Кроме того, исследована управляемая система со смешанными ограничениями типа неравенств и концевыми ограничениями. Для нее в терминах первых производных по переменной управления функций, определяющих ограничения, тоже получены достаточные условия существования непрерывных допустимых позиционных управлений. Доказательство соответствующей теоремы проводится за счет перехода от системы гладких ограничений типа неравенств к одному локально липшицевому ограничению типа равенства.

Разрабатывается метод исследования динамики основных критериев, связанных со здоровьем качества жизни (СЗКЖ), основанный на методе анализа иерархий (МАИ) Т. Саати. Предполагается, что по существующим специфическим и неспецифическим опросникам с течением времени меняются оценки шкал (критериев) СЗКЖ, что приводит и к изменению степени их влияния друг на друга. Это, в свою очередь, меняет интегральные показатели СЗКЖ. Возникает необходимость рассматривать таблицы динамических суждений на основе МАИ с использованием различных классов функций времени, исходя из специфики задачи и критериев СЗКЖ. В работе предлагается новая методика оценок СЗКЖ с учетом динамики основных характеристик МАИ.

В работе исследуются вещественнозначные функции, определенные на квазиметрических пространствах. Для них получено обобщение вариационного принципа Экланда и аналогичного утверждения из статьи [S. Cobzas, “Completeness in quasi-metric spaces and Ekeland Variational Principle”, Topology and its Applications, vol. 158, no. 8, pp. 1073–1084, 2011]. Приведенная здесь модификация вариационного принципа применима, в частности, к широкому классу неограниченных снизу функций. Полученный результат применен к исследованию минимумов функций, определенных на квазиметрических пространствах. Сформулировано условие типа Каристи для сопряженно-полных квазиметрических пространств. Показано, что предложенное условие типа Каристи является достаточным условием существования минимума для полунепрерывных снизу функций, действующих в сопряженно-полных квазиметрических пространствах.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП) — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением II рода общего вида в пространстве $L_2^m$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Минимизируемый функционал задачи является выпуклым (возможно не сильно). Регуляризация КУО в неитерационной и итерационной формах основана на использовании соответственно методов двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. При получении неитерационных регуляризованных КУО используются два параметра регуляризации, один из которых «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем тихоновском добавке к целевому функционалу исходной задачи, обеспечивая тем самым корректность задачи минимизации функции Лагранжа. Основное предназначение регуляризованных ПЛ и ПМП — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО: 1) формулируются как теоремы существования МПР в исходной задаче с одновременным конструктивным представлением конкретных МПР; 2) являются секвенциальными обобщениями классических аналогов — своих предельных вариантов, сохраняя общую структуру последних; 3) «преодолевают» свойства некорректности КУО и дают регуляризирующие алгоритмы для решения оптимизационных задач. Рассматриваются иллюстрирующие примеры конкретных задач оптимального управления, связанных с системой уравнений с запаздыванием и с интегродифференциальным уравнением типа уравнения переноса.

Рассматривается представление множества притяжения (МП) в классе направленностей в пространстве ультрафильтров на широко понимаемом измеримом пространстве (ИП) с топологиями стоуновского и волмэновского типов. Получено представление внутренности и некоторые его следствия. При этом возможности выбора обычных решений определяются посредством задания ограничений асимптотического характера (ОАХ). Упомянутые ОАХ могут быть связаны с ослаблением стандартных ограничений(в задачах управления — краевые и промежуточные условия, фазовые ограничения, в задачах математического программирования — ограничения типа неравенств), но могут возникать и изначально в виде непустых направленных (как правило) семейств множеств. В работе трактуются как ОАХ и некоторые семейства множеств, связанные с построением ультрафильтров (максимальных фильтров) ИП, мажорирующих заданный априори фильтр. Показано, что в этом случае при условии, что пересечение всех множеств данного фильтра пусто, получающийся вариант МП является замкнутым, но не канонически замкнутым множеством, в каждой из топологий волмэновского и стоуновского типов. Это связывается с тем фактом, установленным в работе, что в упомянутом случае исходного фильтра со свойством пустого пересечения всех своих множеств у порождаемого данным фильтром МП внутренность пуста (в то же время известны примеры задач управления, где реализуется противоположное свойство: при пустом пересечении множеств семейства, определяющего ОАХ, внутренность возникающего МП непуста).