About topological properties of attraction set in ultrafilter space

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The representation of attraction set (AS) in the class of nets in the ultrafilter space on the broadly understood measurable space (MS) with topologies of Stone and Wallman types is considered. Representation of the interior of AS and some of its implications are obtained. Possibilities of the choice of usual solutions are defined by specifying constraints of asymptotic nature (CAN). The mentioned CAN can be connected with weakening of standard constraints (in control problems, boundary and intermediate conditions, phase restrictions; in problems of mathematical programming, constraints of inequality type), but they may appear initially in the form of nonempty directed (usually) families of sets. In article, some set families connected with construction of ultrafilters (maximal filters) of MS majorizing a given a priory filter are treated as CAN. Shown, that in this case, under condition of the void intersection of all sets of the given filter, the resulting CAN variant is closed, but not canonically closed set for each of topologies Wallman and Stone types. This is connected with the fact established in the article that, for initial filter with property of the empty intersection of all its sets, the interior of generated by this filter AS is empty (at the same time, there are examples of control problems with opposite property: under empty intersection of sets for the family defining CAN, the interior of arising AS is not empty).

About the authors

Aleksandr G. Chentsov

N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin

Author for correspondence.
Email: chentsov@imm.uran.ru
ORCID iD: 0000-0001-6568-0703

Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Chief Researcher; Professor

Russian Federation, 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, Russian Federation; 19 Mira St., Yekaterinburg 620002, Russian Federation

References

  1. N.N. Krasovsky, Motion Control Theory, Science, M., 1986 (In Russian).
  2. A.I. Panasyuk, V.I. Panasyuk, Asymptotic Turnpike Optimization of Control Systems, Science and Technology Publ., Minsk, 1986 (In Russian).
  3. J. Varga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Nauka Publ., Moscow, 1977 (In Russian), 624 pp.
  4. A.G. Chentsov, A.P. Baklanov, “On an asymptotic analysis problem related to the construction of an attainability domain”, Proc. Steklov Inst. Math., 291 (2015), 279-298.
  5. A.G. Chentsov, A.P. Baklanov, I. I. Savenkov, “A problem of attainability with constraints of asymptotic nature”, Izv. IMI UdGU, 2016, №1(47), 54-118 (In Russian).
  6. A.G. Chentsov, “Compactifiers in extension constructions for reachability problems with constraints of asymptotic nature”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 296:suppl. 1 (2017), 102-118.
  7. A.G. Chentsov, “About an example of the attraction set construction with employment of Stone space”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2012, №4, 108-124 (In Russian).
  8. A.G. Chentsov, “To the validity of constraints in the class of generalized elements”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2014, №3, 90-109 (In Russian).
  9. K. Kuratovsky, A. Mostovsky, Set Theory, World Publ., Moscow, 1970 (In Russian).
  10. A.V. Bulinsky, A.N. Shiryaev, Theory of Random Processes, Fizmatlit Publ., Moscow, 2005 (In Russian).
  11. R. Engelking, General Topology,World Publ., Moscow, 1986 (In Russian).
  12. N. Bourbaki, General Topology. Basic Structures, Science Publ., Moscow, 1968 (In Russian).
  13. J.L. Kelly, General Topology, Science Publ., Moscow, 1981 (In Russian).
  14. A.G. Chentsov, “Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 305:suppl. 1 (2019), S24-S39.
  15. A.G. Chentsov, “Some ultrafilter properties connected with extension constructions”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2014, №1, 87-101 (In Russian).
  16. A.G. Chentsov, “Nonsequential approximate solutions in abstract problems of attainability”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 253:suppl. 1 (2006), S48-S75.
  17. A.G. Chentsov, Asymptotic Attainability, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1997.
  18. R.A. Alexandryan, E.A. Mirzakhanyan, General Topology: Textbook for Universities, High School Publ., Moscow, 1979 (In Russian).
  19. A.G. Chentsov, “On the supercompactness of ultrafilter space with the topology of Wallman type”, Izv. IMI UdGU, 54 (2019), 74-101 (In Russian).
  20. A.G. Chentsov, “Ultrafilters and maximal linked systems: basic properties and topological constructions”, Izv. IMI UdGU, 52 (2018), 86-102 (In Russian).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».