Том 24, № 128 (2019)

Эта статья - краткое изложение части лекции, прочитанной на конференции в Тамбовском университете в октябре 2012, излагающее некоторые результаты о группах Якоби и их голоморфных представлениях, полученные авторами.

Ранее мы описали канонические и граничные представления группы G = SU(1,1) на плоскости Лобачевского в сечениях линейных расслоений (они нумеруются комплексными числами λ ) и разложили канонические представления на неприводимые. Сейчас мы разлагаем представления, действующие в обобщенных функциях, сосредоточенных на границе. В общем случае 2 λ ∉N они диагонализуемы, в исключительном случае появляются жордановы клетки.

Предлагаются условия непрерывности действующих в топологических пространствах неявного многозначного отображения и обратного многозначного отображения. Для заданных отображений f : T × X → Y , y : T → Y , где T, X, Y - топологические пространства, пространство Y хаусдорфово, рассматривается уравнение f( t, x) = y( t) с параметром t ∈ T относительно неизвестного x ∈ X . Предполагается, что для некоторого многозначного отображения U : T ⇉ X при всех t ∈ T выполнено включение f( t, U( t)) ∋ y( t) . Определяется неявное отображение R U : T ⇉ X , которое сопоставляет каждому значению параметра t ∈ T множество решений x( t) ∈ U( t) данного уравнения. Доказано, что R U полунепрерывно сверху в точке t 0 ∈ T , если выполнены следующие условия: при любом x ∈ X отображение f непрерывно в точке ( t 0 , x) , отображение y непрерывно в точке t 0 , многозначное отображение U полунепрерывно сверху в точке t 0 и множество U( t 0 ) ⊂ X компактно. Если дополнительно, при значении параметра t 0 решение уравнения единственно, то отображение R U непрерывно в точке t 0 и любое сечение этого отображения также непрерывно в точке t 0 . Перечисленные результаты применены к исследованию многозначного обратного отображения. Именно, для заданного отображения g : X → T рассмотрено уравнение g( x) = y относительно неизвестного x ∈ X . Получены условия полунепрерыности сверху и непрерывности отображения V U : T ⇉ X , V U ( t) = { x ∈ U( t) : g( x) = t} , t ∈ T .

Мы предлагаем некоторый вариант преобразований Радона для пары X и Y гиперболоидов в R 3 , определенных уравнениями [x , x] = 1 and [ y, y] = -1 , y 1 ≥ 1 , соответственно, здесь [ x, y] = - x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 . В качестве ядра этих преобразований мы берем δ([ x, y]) , где δ( t) - дельта-функция Дирака. Мы получаем два преобразования Радона D ( X ) → C ∞ ( Y ) и D ( Y ) → C ∞ ( X ) . Мы описываем ядра и образы этих преобразований. Для этого мы разлагаем полуторалинейную форму с ядром δ ([ x, y]) по скалярным произведениям компонент Фурье.