О непрерывных и липшицевых селекциях многозначных отображений, заданных системой неравенств

Рассматривается многозначное отображение следующего вида $a(x)=\{ y \in Y \,|\,\, f_i(x,y) \leq 0, \ i\in I\}, \ \ x \in X,$ где $X \subset \mathbb{R}^m$  --- компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ --- выпуклый компакт;   градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций  $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ --- конечное множество индексов.  С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных  и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения  $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.