Том 28, № 144 (2023)

Настоящая работа посвящена исследованию свойства накрывания линейных и нелинейных отображений банаховых пространств. Рассмотрен линейный непрерывный оператор, действующий из одного банахового пространства в другое. Показано, что для любой точки $y_0$ из относительной внутренности образа заданного выпуклого замкнутого конуса существует коническая окрестность этой точки, относительно которой заданный оператор обладает свойством накрывания в нуле с константой накрывания, зависящей от точки $y_0$. Приведен пример, показывающий, что линейный непрерывный оператор может не обладать свойством накрывания относительно образа заданного конуса в нуле, т. е. для сужений линейных непрерывных операторов на замкнутые выпуклые конусы утверждение теоремы Банаха об открытом отображении может не выполняться. Приведено следствие полученной теоремы для случая, когда пространство, в которое действует заданный оператор, конечномерно. Рассмотрены нелинейные дважды дифференцируемые отображения банаховых пространств. Для них приведены условия локального накрывания вдоль некоторой кривой относительно заданного конуса. Соответствующие достаточные условия сформулированы в терминах 2 -регулярных направлений. Они остаются содержательными и в случае вырождения первой производной рассматриваемого отображения в заданной точке.

Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой  систему дифференциальных уравнений вида
\begin{equation*}
\dot{v}_{i}(t)= -\alpha v_{i}(t)+\sum_{j=1}^{n}w_{ji}f_{\delta}\big(v_{j}(t-\tau_{ji})\big)+I_{i}(t), \quad i=\overline{1,n}, \quad t\geq 0.
\end{equation*}
 Параметры модели считаются заданными: $\alpha>0,$ $\tau_{ii}=0,$ $w_{ii}= 0,$ $\tau_{ji}\geq 0$ и $w_{ji}>0$ при $i\neq j,$  $I_{i}(t)\geq 0$ при $t\geq 0.$ Функция активации $f_{\delta}$ ($\delta$ --- время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов:
$$
\delta= 0 \ \Rightarrow \
f_{0}(v)=\left\{
\begin{array}{ll}
0,  & v\leq\theta,\\
1, & v>\theta;
\end{array}\right. \ \ \ \ \
\delta> 0 \ \Rightarrow \ f_{\delta}(v)=\left\{
\begin{array}{ll}
0,  & v\leq \theta,\\
{\delta}^{-1}( v-\theta), & \theta < v \leq \theta+\delta,\\
1, & v>\theta+\delta.
\end{array}\right.$$
Для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений исследуется краевая задача с условиями ${v_{i}(0)-v_{i}(T)=\gamma_{i},}$ $i=\overline{1,n}.$ В обоих случаях $\delta= 0$ (функция $f_{0}$ разрывная) и $\delta > 0$ (функция $f_{0}$ непрерывная) решение существует, а если
${\delta} > \frac{T|W|_{\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}}}{1 - e^{-\alpha T}},$
\quad \mbox{где} \quad W=(w_{ij})_{n\times n}, то рассматриваемая задача имеет единственное  решение. В работе также получены оценки решения и его производной.  Используются теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических и нормированных пространств и о неподвижных точках монотонных отображений  частично упорядоченных пространств. Полученные результаты применены к исследованию периодических решений рассматриваемой дифференциальной системы.

В статье предложен подход к идентификации нестационарной линейной динамической системы. Ее математическая модель типа «вход-выход» представлена в виде уравнения Вольтерра I рода. Задача непараметрической идентификации ядер Вольтерра решается на основе активного эксперимента с помощью тестовых сигналов кусочно-линейного вида (имеющих фронт нарастания). Постановка задачи исходит из условий моделирования динамики технических устройств тепло- и электроэнергетики. Выбор допустимого семейства входных сигналов обусловлен сложностью формирования сигналов кусочно-постоянного типа для реальных энергетических объектов. Исходная задача сводится к решению интегральных уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования. Построена формула обращения выделенных интегральных уравнений. Получены достаточные условия разрешимости соответствующих уравнений относительно ядер Вольтерра в классе непрерывных функций.

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка
\begin{equation*}
A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon),
\end{equation*}
\begin{equation*}
u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1,
\end{equation*}
где $A,B,C,D$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ --- голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция,  $\varepsilon$ --- малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т.~д. Оператор $A$  фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя --- это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$