Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 77, № 6 (2022)
Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности
Аннотация
В динамике голоморфного отображения важную роль играют неподвижные точки. В случае голоморфного отображения единичного круга в себя все неподвижные точки, за исключением, быть может, одной, расположены на границе единичного круга. При этом, как оказалось, наличие угловой производной и ее величина в граничной неподвижной точке существенно влияют на поведение самого отображения и его итераций. Кроме того, некоторые классические задачи геометрической теории функций комплексного переменного получают новые постановки и формулировки. Этим вопросам посвящена настоящая работа. Основное внимание уделяется проблеме дробного итерирования, областям однолистности и влиянию угловой производной в граничной неподвижной точке на области значений тейлоровских коэффициентов. Библиография: 90 названий.
Успехи математических наук. 2022;77(6):3-68
3-68
Спектральное неравенство для уравнения Шрёдингера с многоточечным потенциалом
Аннотация
Рассматривается уравнение Шрёдингера с потенциалом, который является суммой регулярной функции и конечного набора точечных рассеивателей типа Бете–Пайерлса. Для этого уравнения рассматривается спектральная задача с линейными однородными граничными условиями, включая случаи Дирихле, Неймана и Робина. Показано, что если энергия $E$ является собственным значением кратности $m$, то после добавления к потенциалу дополнительных $n$ ($n < m$) точечных рассеивателей она остается собственным значением кратности не менее m−n. Как следствие, поскольку для нулевого потенциала все энергии являются энергиями частичной прозрачности бесконечной кратности, то для n-точечных потенциалов это свойство также имеет место, что было обнаружено в нашей недавней работе. Библиография: 33 названия
Успехи математических наук. 2022;77(6):69-76
69-76
Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для $(2+1)$-мерных аномальных волн фокусирующего уравнения Дэви–Стюартсона 2
Аннотация
Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) является простейшей универсальной моделью, описывающей модуляционную неустойчивость (МН) квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах в размерности $1+1$, тогда как МН считается основным физическим механизмом, ответственным за рождение аномальных волн (АВ, волн-убийц) в природе. Опираясь на недавно развитую аналитическую теорию периодических АВ в фокусирующем НУШ, в данной работе мы развиваем аналогичную теорию в размерности $2+1$, концентрируясь на фокусирующем уравнении Дэви–Стюартсона 2 (ДС2), которое является интегрируемым $(2+1)$-мерным обобщением фокусирующего НУШ. Точнее говоря, мы используем конечнозонную теорию для построения в главном порядке решения двоякопериодической по пространственным переменным задачи Коши для фокусирующего уравнения ДС2 в предположении, что в начальный момент имеется малое возмущение неустойчивого фона. Эту задачу мы называем двоякопериодической задачей Коши для АВ. Как и в случае НУШ, мы показываем, что решение данной задачи Коши в главном порядке выражается в терминах элементарных функций начальных данных. Библиография: 86 названий.
Успехи математических наук. 2022;77(6):77-108
77-108
Геометрия квазипериодических функций на плоскости
Аннотация
Статья включает обзор последних результатов, полученных при исследовании задачи Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости. Большая часть работы посвящена случаю трех квазипериодов, играющему важную роль в теории транспортных явлений в металлах. В этой части, наряду с ранее известными результатами, приведен ряд новых утверждений, существенно уточняющих общее описание возникающей в этом случае картины. Сформулированы также новые утверждения для случая функций с числом квазипериодов, большим трех, открывающие подходы к дальнейшему исследованию задачи Новикова в наиболее общей постановке. Обсуждается также роль задачи Новикова в различных областях математической и теоретической физики. Библиография: 60 названий.
Успехи математических наук. 2022;77(6):109-136
109-136
Об интегрируемости уравнений динамики в непотенциальном силовом поле
Аннотация
Рассматривается круг вопросов, связанных с точным интегрированием уравнений движения механических систем в непотенциальном силовом поле (часто называемых циркуляционными). Подход к интегрированию основан на теореме Эйлера–Якоби–Ли: если $n$ – число степеней свободы, то (с учётом сохранения фазового объёма) для точного интегрирования необходимо иметь ещё $2n-2$ первых интегралов и полей симметрий, находящихся в некоторых естественных отношениях. Указаны случаи движения в непотенциальном поле, интегрируемые с помощью разделения переменных. Обсуждаются геометрические свойства систем с ненётеровыми полями симметрий. Указаны примеры существования неприводимых полиномиальных интегралов третьей степени по импульсам. Рассмотрена задача об условиях существования однозначных полиномиальных интегралов циркуляционных систем с двумя степенями свободы и торическим пространством положений. Показано, что в типичном случае уравнения движения вообще не допускают непостоянных полиномиальных интегралов. Библиография: 32 названия.
Успехи математических наук. 2022;77(6):137-158
137-158
Формула следа для магнитного лапласиана на нулевом уровне энергии
Аннотация
Работа посвящена формуле следа для магнитного лапласиана, ассоциированного с магнитной системой на компактном многообразии. Эта формула является естественным обобщением квазиклассической формулы следа Гуцвиллера и сводится к ней в случае, когда форма магнитного поля точна. Она несколько отличается от формулы следа Гийемина–Урибе, изучавшейся в предыдущей работе автора с И. А. Таймановым. Более того, в отличие от той работы основное внимание уделяется формуле следа на нулевом уровне энергии, являющемся критическим уровнем энергии. В работе дан обзор основных понятий и результатов, связанных с формулой следа на нулевом уровне энергии, описаны различные подходы к ее доказательству, приведены конкретные примеры ее вычисления. Кроме того, дан краткий обзор формулы следа Гуцвиллера для регулярных и критических уровней энергии. Библиография: 88 названий.
Успехи математических наук. 2022;77(6):159-202
159-202
Асимптотические свойства полиномов Эрмита–Паде и точки Каца
Успехи математических наук. 2022;77(6):203-204
203-204
Неравенство Долженко для $n$-листных функций: от гладких границ к фрактальным
Успехи математических наук. 2022;77(6):205-206
205-206
О задаче Дэвиса–Монро
Успехи математических наук. 2022;77(6):207-208
207-208
Искандер Асанович Тайманов (к шестидесятилетию со дня рождения)
Успехи математических наук. 2022;77(6):209-218
209-218