Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 215, No 5 (2024)
Orbital invariants of billiards and linearly integrable geodesic flows
Abstract
Обнаружены и вычисляются траекторные инварианты интегрируемых топологических биллиардов с двумя степенями свободы при условии постоянства энергии системы. Инварианты (векторы вращения) вычисляются через функции вращения на однопараметрических семействах $2$-торов Лиувилля. Доказан аналог теоремы Лиувилля в окрестности регулярных слоев для кусочно гладких биллиардов. Введены переменные действие-угол. Получена общая формула для функций вращения. Гипотеза А. Т. Фоменко предполагала, что функции вращения топологических биллиардов монотонны. Для многих важных систем гипотеза подтвердилась, но обнаружились интересные биллиарды с немонотонными функциями вращения. В частности, вычислены траекторные инварианты биллиардов-книжек, реализующих (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) линейно интегрируемые геодезические потоки двумерных поверхностей. При надлежащем изменении параметров потоков эти функции вращения становятся монотонными.Библиография: 45 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):3-46
3-46
Prime avoiding numbers is a basis of order 2
Abstract
Для натурального $n$ обозначим через $F(n)$ расстояние от $n$ до ближайшего простого числа. Используя метод из недавней работы К. Форда, C. Конягина, Дж. Мейнарда, К. Померанса и Т. Тао “Long gaps in sieved sets” (J. Eur. Math. Soc., 23:2 (2021), 667–700), мы доказываем, что всякое достаточно большое натуральное $N$ может быть представлено в виде $N=n_1+n_2$, где $F(n_i) \geqslant (\log N)(\log\log N)^{1/325565}$, для $i=1,2$. Данный результат улучшает аналогичный “тривиальный” результат с условием вида $F(n_i)\gg \log N$. Библиография: 17 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):47-70
47-70
Lower and upper bounds for the minimum number of edges in some subgraphs of the Johnson graph
Abstract
Получены нижние и верхние оценки минимального числа ребер в индуцированных подграфах с $l$ вершинами графа $G(n,3,1)$, где $l \sim cn^2$. Полученные результаты улучшают ранее доказанные оценки этой величины в данном режиме.Библиография: 16 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):71-95
71-95
Planar locally minimal trees with boundaries on a circle
Abstract
Плоское дерево имеет выпуклую минимальную реализацию, если оно планарно эквивалентно локально минимальному дереву, граница которого – множество вершин выпуклого многоугольника. Если при этом многоугольник вписан в окружность, то будем говорить, что это дерево имеет круглую минимальную реализацию. В работе строится широкий класс плоских деревьев, у которых имеется выпуклая минимальная реализация, но не имеется круглой.Библиография: 9 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):96-105
96-105
Topology of the Liouville foliation in the generalized constrained three-vortex problem
Abstract
Рассматривается вполне интегрируемая по Лиувиллю модель гамильтоновой механики с двумя степенями свободы, которая описывает движение двух точечных вихрей при наличии третьего вихря, закрепленного в начале координат. Система обобщает движение гидродинамических вихрей в безграничной идеальной жидкости и магнитных вихрей в ферромагнитной среде. В работе исследуется топология слоения Лиувилля данной системы при помощи бифуркационной диаграммы отображения момента. Доказан ряд утверждений относительно общего вида бифуркационной диаграммы и свойств критических траекторий в прообразе бифуркационных кривых. Этиутверждения позволяют доказать наличие двух важных бифуркаций торов Лиувилля, проходящих через особый слой вида$\mathbb S^1 \times (\mathbb S^1 \dot{\cup} \mathbb S^1 \dot{\cup} \mathbb S^1)$. В первом случае при прохождении через особый слой один тор Лиувилля перестраивается в три тора. Во втором случае два тора перестраиваются в два тора.Библиография: 46 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):106-145
106-145
Polynomial approximations on parabolic manifolds
Abstract
При помощи специальной функции исчерпания на параболических многообразиях определяются полиномы и рассматривается задача о полиномиальной аппроксимации аналитических функций. Приводится пример параболического многообразия с семейством полиномов, состоящим только из констант. На регулярно параболических многообразиях, где имеется богатый набор полиномов, доказывается аналог известной теоремы Бернштейна–Уолша.Библиография: 28 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(5):146-160
146-160