Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 214, No 3 (2023)
Solving strongly convex-concave composite saddle point problems with a small dimension of one of the variables
Abstract
Разработаны алгоритмические методы, гарантирующие эффективные оценки сложности для сильно выпукло-вогнутых седловых задач в случае, когда одна из групп переменных имеет большую размерность, а другая – достаточно малую (до сотни). Предлагаемая методика основана на сведении задач такого типа к задаче минимизации выпуклого (максимизации вогнутого) функционала по одной из переменных, для которого можно найти приближенное значение градиента в произвольной точке с необходимой точностью с помощью вспомогательной оптимизационной подзадачи по другой переменной. При этом для маломерных задач предлагается использовать методы эллипсоидов и Вайды, а для многомерных – ускоренные градиентные методы с неточной информацией о градиенте или субградиенте. Для случая очень малой размерности задачи одной из групп переменных (до 5) на гиперкубе достаточно эффективным будет иной предлагаемый подход к сильно выпукло-вогнутым седловым задачам на базе нового варианта многомерного аналога метода Ю. Е. Нестерова на квадрате (метод многомерной дихотомии) с возможностью использования неточных значений градиента целевого функционала.Библиография: 28 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):3-53
3-53
Topological analysis of the pseudo-Euclidean Euler top for special values of parameters
Abstract
Изучается аналог волчка Эйлера в случае псевдоевклидова пространства. В случае равенства нулю либо геометрического интеграла, либо интеграла площадей были построены бифуркационные диаграммы отображения момента и определен класс гомеоморфности каждого слоя слоения. Для каждой из дуг бифуркационной диаграммы в случае одного из двух возможных порядков моментов инерции определены типы особенностей в прообразе ее малой окрестности (аналоги 3-атомов Фоменко), а для неособых изоэнергетических и изоинтегральных поверхностей построен инвариант грубой лиувиллевой эквивалентности (аналог грубой молекулы). Как оказалось, псевдоевклидова система Эйлера обладает некомпактными некритическими бифуркациями.Библиография: 23 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):54-70
54-70
Diophantine exponents of lattices and growth of multidimensional analogues of partial quotients
Abstract
Изучается трехмерный аналог связи экспоненты иррациональности вещественного числа с ростом его неполных частных при разложении в обыкновенную цепную дробь. В качестве многомерного обобщения цепных дробей рассматриваются полиэдры Клейна.Библиография: 12 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):71-84
71-84
Geometric progression stabilizer in common metric
Abstract
На множестве геометрической прогрессии как подмножестве прямой рассматриваются так называемые нормированные метрики. Дано полное описание нормированных метрик с максимальным стабилизатором – группой всех целочисленных степеней знаменателя этой прогрессии. Ранее было известно, что указанная подгруппа является стабилизатором для наименьшей нормированной метрики (метрики из прямой) и наибольшей нормированной метрики (внутренней метрики, где все пути проходят через нулевую точку). Под стабилизатором метрического пространства понимается множество всех положительных чисел, умножение метрики на которые приводит к новому метрическому пространству на конечном расстоянии Громова–Хаусдорфа от первоначального. Библиография: 5 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):85-105
85-105
Degeneration of a graph describing conformal structure
Abstract
Рассматривается клеточное разбиение пространства модулей вещественных кривых рода $2$ с отмеченной точкой на единственном вещественном овале. Клетки перечисляются определенными графами, веса которых описывают комплексную структуру на кривой. Показано, что стягивание ребра графа приводит к корневой особенности естественного отображения из весов графа в пространство модулей кривых.Библиография: 24 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):106-119
106-119
On a class of interpolation inequalities on the 2D sphere
Abstract
Доказываются оценки $L^p$ норм систем функций и систем бездивергентных вектор-функций, которые ортонормированы в пространстве Соболева $H^1$ на двумерной сфере. Как следствие получены оптимальные по скорости роста постоянные в неравенствах Гальярдо–Ниренберга для вложения $H^1\hookrightarrow L^q$, $q<\infty$. Библиография: 25 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):120-134
120-134
Bernstein–Szegö inequality for Riesz derivative of trigonometric polynomials in the spaces $L_p$, $0\le p\le\infty$, with the classical value of the best constant
Abstract
Рассматривается неравенство Бернштейна–Сегё для производной Вейля вещественного порядка $\alpha\ge 0$ тригонометрических полиномов порядка $n$. Изучается вопрос о том, при каких значениях параметров точная константа в этом неравенстве принимает классическое значение $n^\alpha$ во всех $L_p$, $0\le p\le\infty$. Для важных частных случаев производной Вейля–Сегё, а именно производной Рисса и сопряженной производной Рисса, при каждом $n\in\mathbb N$ точно описано множество таких значений $\alpha$.Библиография: 22 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):135-152
135-152
An elementary approach to local combinatorial formulae for the Euler class of a PL spherical fiber bundle
Abstract
Описан элементарный подход к локальным комбинаторным формулам для класса Эйлера послойно ориентированного триангулированного сферического расслоения. Подход основан на технике усреднения сечений и требует лишь базовых знаний теории симплициальных (ко)гомологий. Наши формулы родственны формуле Н. Мнёва.Библиография: 9 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(3):153-168
153-168