Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 214, No 4 (2023)
On properties and error of 2nd order parabolic and hyperbolic perturbations of a 1st order symmetric hyperbolic system
Abstract
Изучаются задачи Коши для многомерной симметричной линейной гиперболической системы уравнений 1-го порядка с переменными коэффициентами и ее сингулярных возмущений – сильно параболической и гиперболической 2-го порядка систем уравнений с малым параметром $\tau>0$ при вторых производных по $x$ и $t$. Доказываются существование и единственность слабых решений всех трех систем и равномерные по $\tau$ оценки решений систем с возмущениями. Даются оценки разности решений исходной системы и систем с возмущениями, в том числе в норме $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ порядка $O(\tau^{\alpha/2})$ при начальной функции $\mathbf w_0$ из пространств Соболева $H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ для $\alpha=1,2$ и пространств Никольского $H_2^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ для $0<\alpha<2$, $\alpha\neq 1$ и соответствующих условиях на свободный член системы 1-го порядка. При $\alpha=1/2$ охватывается широкий класс разрывных $\mathbf w_0$. Выводятся также оценки производных любого порядка по $x$ как решений, так и их разностей порядка $O(\tau^{\alpha/2})$. Указывается приложение результатов к линеаризованной на постоянном решении системе уравнений газовой динамики 1-го порядка и ее возмущениям – линеаризованным параболической и гиперболической 2-го порядка квазигазодинамическим системам уравнений. Библиография: 34 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(4):3-37
3-37
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric and stochastic PDEs with lognormal inputs
Abstract
Дается оценка скорости сходимости коллокационной аппроксимации глубокими $\mathrm{ReLU}$-нейронными сетями решений эллиптических уравнений с частными производными c логнормальными входами, параметризованных параметром $\boldsymbol{y}$ из некомпактного множества ${\mathbb R}^\infty$. Погрешность аппроксимации измеряется в норме пространства Бохнера $L_2({\mathbb R}^\infty, V, \gamma)$, где $\gamma$ – бесконечная тензорная стандартная гауссовская вероятностная мера на ${\mathbb R}^\infty$, а $V$ – энергетическое пространство. Также получены не зависящие от размерности результаты в случае, когда логнормальные входы параметризованы множеством ${\mathbb R}^M$ очень большой размерности $M$, а погрешность аппроксимации измеряется в равномерной норме пространства Бохнера $ L_\infty^{\sqrt{g}}({\mathbb R}^M, V)$ с весом $\sqrt{g_M}$, где $g_M$ – плотность распределения стандартной гауссовской вероятностной меры на ${\mathbb R}^M$.Библиография: 62 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(4):38-75
38-75
Regularization of distributions
Abstract
Приведены достаточные условия для построения регуляризации обобщенной функции вида $a(\sigma)f$, где $f$ – обобщенная функция, $a(\sigma)$ – бесконечно дифференцируемая функция вне замкнутого множества $N$ и имеющая степенные особенности производных на $N$. Рассмотрено применение указанных регуляризаций для конструктивного построения решений уравнения $Pu=f$, где $P(\sigma)$ – многочлен.Библиография: 14 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(4):76-113
76-113
Explicit form of fundamental solutions to certain elliptic equations and associated $B$- and $C$-capacities
Abstract
Основной задачей в работе является изучение геометрических и метрических свойств $B$- и $C$-емкостей, связанных с проблемами равномерной приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах евклидовых пространств. Для гармонического случая эта задача хорошо известна и глубоко исследована в классических работах по теории потенциала в первой половине прошлого века. В статье для большого класса указанных уравнений получены двусторонние оценки между соответствующими $B_+$- и $C_+$-емкостями (определяемыми потенциалами положительных мер) и гармоническими емкостями в той же размерности. Метод исследования базируется на получении простой явной формулы для фундаментальных решений рассматриваемых уравнений. Библиография: 12 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(4):114-131
114-131
Short $SL_2$-structures on simple Lie algebras
Abstract
В работах Э. Б. Винберга были введены и исследованы некоторые неабелевы градуировки простых алгебр Ли, а именно короткие $\mathrm{SO}_3$- и $\mathrm{SL}_3$-структуры. Мы изучаем другой их вид – короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры. Основные результаты относятся к взаимно однозначному соответствию между такими структурами и некоторыми специальными йордановыми алгебрами.Библиография: 8 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(4):132-180
132-180