Том 23, № 2 (2019)
- Год: 2019
- Статей: 11
- URL: https://journal-vniispk.ru/1991-8615/issue/view/1232
Уравнения дуальности на 4-многообразии конформной связности без кручения и некоторые их решения для нулевой сигнатуры
Аннотация
На 4-многообразии конформной связности без кручения нулевой сигнатуры (--++) найдены условия, при которых матрица конформной кривизны является дуальной (автодуальной или антиавтодуальной). Они представляют собой пять дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка на 10 коэффициентов угловой метрики и четыре дифференциальных уравнения с частными производными 1-го порядка, содержащие еще и 3 коэффициента внешней 2-формы заряда одной из компонент матрицы конформной кривизны. Составлены уравнения дуальности для метрики диагонального вида. Они образуют систему из пяти дифференциальных уравнений 2-го порядка на три неизвестных функции от всех четырех переменных. Найдены несколько серий решений этой системы. В частности, получены все решения для логарифмически полиномиальной метрики диагонального вида, то есть для диагональной метрики, коэффициенты которой являются экспонентами от многочленов четырех переменных.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):207-228
207-228
Разрешимость нелокальной задачи для гиперболического уравнения с вырождающимися интегральными условиями
Аннотация
Рассмотрена нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. Основное внимание уделено исследованию разрешимости задачи в том случае, когда интегральные условия второго рода вырождаются в некоторых точках рассматриваемого интервала в условия первого рода. При обосновании разрешимости задачи с вырождающимися нелокальными условиями неизбежно возникает ряд трудностей, которые успешно преодолены с помощью предложенного в статье метода, суть которого состоит в переходе к эквивалентной задаче с динамическими нелокальными условиями. Применение этого приема позволило эффективно ввести понятие обобщенного решения, получить априорные оценки и доказать однозначную разрешимость поставленной задачи в пространстве Соболева.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):229-245
229-245
Тензорные представления асимметричных тензоров микрополярных теорий механики континуума
Аннотация
Получены новые представления трехмерного асимметричного тензора напряжений и соответствующие им формы дифференциальных уравнений равновесия. Асимметричные теории механики деформируемого твердого тела по прежнему привлекают пристальное внимание в связи с необходимостью математического моделирования механического поведения современных материалов (например, ауксетиков с помощью теорий гемитропной микрополярной упругости). Исследование ограничивается только такими асимметричными тензорами второго ранга, для которых удается сохранить понятие о вещественных собственных значениях, но отказаться от взаимной ортогональности направлений главного триэдра. Обсуждается точная алгебраическая формулировка указанных условий асимметричности. В статье обобщаются тензорные представления симметричного тензора напряжений, основанные на естественном репере асимптотических направлений. Полученные результаты являются ярким свидетельством в пользу алгебраической «гиперболичности» симметричных и асимметричных тензоров второго ранга в трехмерном пространстве.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):246-255
246-255
Оценка механических характеристик кристаллов соляных пород на основе математической модели процесса наноиндентирования на зондовом силовом микроскопе Dimension Icon
Аннотация
Зондовый силовой микроскоп (ЗСМ) Dimension Icon применяется как для оценки рельефа поверхности исследуемого образца, так и для получения силового отклика образца при взаимодействии кантилевера (индентора специальной формы, расположенного на конце упругой консоли) с поверхностью образца. При этом, в отличие от других приборов, например NanoTest-600, где в результате индентирования исследователь получает величину твердости и эффективного модуля упругости с помощью программного обеспечения, «зашитого» в данный прибор, ЗСМ позволяет получить только кривую отклонения индентора в зависимости от перемещения основания кантилевера. Зная коэффициент жесткости на изгиб упругой консоли, исследователь может самостоятельно определить кривую «усилие-перемещение» индентора на этапе нагрузки и разгрузки. Далее возникает задача интерпретации полученной кривой: каким образом можно оценить механические характеристики материала на ее основе? Ответ на этот вопрос зависит, в частности, от характера механического поведения материала. Для диапазона глубин индентирования, превышающих головную сферическую часть зонда кантилевера, при предположении упруго-идеально-пластической модели материала рассмотрена двумерная осесимметричная задача индентирования образца на этапе нагрузки и разгрузки. Численное моделирование осуществлено в пакете ANSYS в рамках контактной задачи в предположении абсолютно жесткого наконечника кантилевера. Путем обработки результатов вычислительного эксперимента предложена методика оценки предела текучести и модуля упругости поверхностных слоев образца. На основе данных ранее проведенных экспериментов получены конкретные значения механических характеристик для кристаллов соляных пород.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):256-269
256-269
Ползучесть и пластическое течение материала сферического вязкоупругопластического слоя при его нагрузке и разгрузке
Аннотация
Целью исследования является изучение процессов накопления необратимых деформаций посредством разных механизмов: ползучести и пластического течения. При росте напряжений в теле за счет механического воздействия на него первоначально необратимые деформации производятся за счет вязких свойств материала деформируемого тела в качестве деформаций ползучести, а при выходе напряженных состояний на поверхность нагружения механизм их производства меняется на пластический. При разгрузке последовательность, наоборот, меняется с быстрого пластического на медленный вязкий. Непрерывность в таком росте необратимых деформаций обеспечивается соответствующим заданием потенциалов ползучести и пластичности. Данные процессы рассматриваются в рамках математической теории малых деформаций на примере одномерной задачи о деформировании вязкоупругопластического полого шара под действием изменяющегося со временем всестороннего давления. Рассмотрены процессы ползучести и пластического течения при увеличивающемся давлении, пластическое течение при постоянном давлении, разгрузка среды при уменьшении давления и повторное пластическое течение при разгрузке. Установлены закономерности продвижения упругопластических границ в материале полого шара. Рассчитаны параметры напряженно-деформированного состояния среды, исследована релаксация напряжений после разгрузки.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):270-283
270-283
Определение упругих констант горных пород
Аннотация
Рассмотрены экспериментальные данные А. Н. Ставрогина трехосного сжатия образцов песчаников при пропорциональном нагружении по схеме Т. Кармана. Песчаники обладают достаточно высокой пористостью в исходном состоянии, поэтому их деформация в пределах упругости имеет следующие особенности. При одноосном сжатии цилиндрического образца при малых начальных напряжениях (порядка 0.05÷0.15 от предела упругости) на диаграмме продольной деформации наблюдается нелинейный участок, что связывается с происходящим при этом уплотнением материала. Это обстоятельство вызывает определенное затруднение при определении модуля упругости. Предлагается уточнение способа определения упругих констант (модуля Юнга и коэффициента Пуассона) с учетом указанной особенности начальной диаграммы деформации. Ранее А. Н. Ставрогин предложил рассмотреть на диаграмме продольной деформации линейный участок от указанного начального напряжения до условного предела упругости. Именно по этой части диаграммы определяется модуль упругости. Линейная экстраполяция данного участка до нулевого напряжения доставляет фактически новое начало координат для рассматриваемой продольной деформации. В настоящей работе показано, что при трехосном сжатии цилиндрического образца продольная деформация (удовлетворяющая закону Гука) может отсчитываться от того же нового начала координат, устанавливаемого при одноосном сжатии. При этом поперечная деформация образца рассматривается в том диапазоне изменения напряжений, при котором приращение осевого напряжения вызывает отрицательное приращение поперечной деформации. На основе скорректированных таким образом исходных экспериментальных значений продольной и поперечной деформации определен также условный предел упругости.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):284-303
284-303
Анализ возможностей описания влияния гидростатического давления на кривые ползучести и коэффициент поперечной деформации реономных материалов в рамках линейной теории вязкоупругости
Аннотация
Исследуются арсенал возможностей и индикаторы границы области применимости линейного интегрального определяющего соотношения вязкоупругости Больцмана-Вольтерры с двумя произвольными материальными функциями (сдвиговой и объемной ползучести) для изотропных реономных материалов, пренебрегающего влиянием шаровой и девиаторной частей тензоров напряжений и деформаций друг на друга и влиянием их третьих инвариантов. Аналитически изучены общие свойства семейств кривых объемной, продольной и поперечной ползучести и коэффициента поперечной деформации («коэффициента Пуассона»), порождаемых этим соотношением при одноосном нагружении постоянной нагрузкой в сочетании с постоянным гидростатическим давлением, и их зависимость от качественных характеристик функций ползучести и уровней осевого напряжения и давления. Показано, что объемная ползучесть и давление могут существенно изменить качественное поведение кривых осевой и поперечной ползучести и коэффициента Пуассона. Доказано, что линейная теория вязкоупругости способна моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации и коэффициента Пуассона даже при нулевом давлении, а осевой деформации - при достаточно большом давлении; исследованы условия наличия у них точек экстремума и перегиба. Исследованы выражения для коэффициента Пуассона и параметра вида деформированного состояния через отношение функций ползучести, время и отношение давления к осевому напряжению. Получены общие точные оценки для диапазона изменения коэффициента Пуассона, условия его монотонности и немонотонности в зависимости от времени и критерий его отрицательности. В результате анализа обнаружен ряд характерных общих свойств семейств кривых ползучести и зависимости коэффициента Пуассона от времени и относительной величины давления, которые удобно проверять в испытаниях материалов и использовать как индикаторы границы области линейного поведения (индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости) по данным серии испытаний материала на ползучесть при совместном действии растягивающей силы и гидростатического давления. Исследованы специфические свойства кривых ползучести, порождаемых линейной теорией вязкоупругости в сочетании с предположением об упругом изменении объема, и соответствующие индикаторы неприменимости подобной модели (с одной материальной функцией).
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):304-340
304-340
Конвективные слоистые течения вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости. Исследование поля скоростей
Аннотация
Обсуждается разрешимость переопределенной системы уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Система уравнений Обербека-Буссинеска, дополненная уравнением несжимаемости, является переопределенной. Количество уравнений превосходит количество неизвестных функций, поскольку изучаются неоднородные слоистые потоки вязкой несжимаемой жидкости (одна из компонент вектора скорости тождественно равна нулю). Проведено исследование разрешимости нелинейной системы уравнений Обербека-Буссинеска. Исследование разрешимости переопределенной системы нелинейных уравнений в частных производных Обербека-Буссинеска осуществлялось при помощи построения нескольких частных точных решений. Приведен новый класс точных решений для описания трехмерных нелинейных слоистых течений вертикальной завихренной вязкой несжимаемой жидкости. Вертикальная компонента завихренности в невращающейся жидкости генерируется неоднородным полем скоростей на нижней границе бесконечного горизонтального слоя жидкости. Конвекция в вязкой несжимаемой жидкости индуцируется линейными источниками тепла. Основное внимание уделено исследованию свойств поля скоростей течения. Исследована зависимость структуры этого поля от величины вертикальной закрутки. Показано, что одна из компонент вектора скорости при ненулевой вертикальной закрутке допускает расслоение на пять зон по толщине рассматриваемого слоя (четыре застойные точки). Анализ поля скоростей показал, что кинетическая энергия жидкости может дважды принимать нулевой значение по толщине слоя.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):341-360
341-360
Эффективная вычислительная процедура альтернансного метода оптимизации
Аннотация
Рассматривается вычислительная процедура реализации альтернансного метода оптимизации применительно к задаче полубесконечного программирования. К таким задачам сводятся многочисленные прикладные проблемы оптимизации объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами: робастная параметрическая оптимизация динамических систем, параметрический синтез систем управления и т.п. Поскольку вычисления по альтернансному методу оптимизации достаточно затруднительны, так как сводятся к решению, как правило, трансцендентной системы определяющих уравнений, предлагается эффективный по вычислительной сложности вариант реализации вычислительной процедуры. Для снижения сложности вычислительной процедуры используются установленные альтернансным методом свойства точек экстремума критерия оптимальности в области допустимых значений переменных. Эти свойства позволяют сформировать топологию этой области и тем самым минимизировать количество обращений к ней в ходе поисковой процедуры. Предложенный вычислительный метод особенно эффективен для невыпуклых и негладких критериев оптимальности, к которым приводят технологически обоснованные постановки задач полубесконечной оптимизации. Разработан пошаговый алгоритм подготовки данных и выполнения вычислений, пригодный для реализации на большинстве языков программирования. Исследована эффективность алгоритма, которая тем выше, чем большее количество параметров входит в вектор управления и чем выше размерность области оптимизации. Предложена оценка вычислительной сложности вычислительной процедуры альтернансного метода оптимизации, которая позволяет определить эффективность применения предлагаемого алгоритма для решения задачи оптимального управления технологическим объектом управления.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):361-377
361-377
Существование хаотических режимов дробного аналога осциллятора типа Дуффинга
Аннотация
В работе проведено исследование хаотических режимов дробного аналога осциллятора типа Дуффинга. Для этого по алгоритму Вольфа с ортогонализацией Грама-Шмидта были рассчитаны спектры максимальных показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров, на основе которых были построены бифуркационные диаграммы. Бифуркационные диаграммы позволили определить области, для которых существует хаотический колебательный режим. Также были построены фазовые траектории, которые подтвердили результаты исследований.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):378-393
378-393
О сингулярных решениях многомерного дифференциального уравнения типа Клеро со степенной и показательной функциями
Аннотация
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо известно уравнение Клеро. Это уравнение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно производной. Нахождение общего решения уравнения Клеро подробно описано в литературе, и известно, что оно представляет собой семейство интегральных прямых. Однако наряду с общим решением для таких уравнений существует сингулярное (особое) решение, представляющее собой огибающую данного семейства интегральных прямых. Отметим, что сингулярное решение уравнения Клеро представляет определенный интерес в ряде прикладных задач.Помимо обыкновенного дифференциального уравнения Клеро известно дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных типа Клеро. Данное уравнение представляет собой многомерное обобщение обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Задача нахождения общего решения для уравнений типа Клеро в частных производных решена. Известно, что полный интеграл уравнения представляет собой семейство интегральных (гипер)плоскостей. Помимо общего решения могут существовать частные решения, а в некоторых случаях удается найти сингулярное решение. Общего алгоритма нахождения сингулярного решения, вообще говоря, не существует, поскольку задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.В статье изучается проблема нахождения сингулярного решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных для частного выбора функции от производных в правой части. Работа устроена следующим образом. Во введении дан краткий обзор некоторых современных результатов, относящихся к исследованию уравнений типа Клеро в теории поля и классической механике. В первой части даются общие сведения о дифференциальных уравнениях типа Клеро в частных производных и структуре его общего решения. В основной части работы обсуждается метод нахождения сингулярных решений многомерных дифференциальных уравнений типа Клеро. Основным результатом работы является нахождение сингулярных решений уравнений, содержащих степенную и показательную функции.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(2):394-401
394-401