Том 65, № 4 (2019): Труды Математического института им. С.М. Никольского РУДН

Рассматривается движение механической системы, состоящей из корпуса (твёрдого тела) и внутренней массы (материальной точки), движущейся внутри него по окружности, центр которой совпадает с центром масс корпуса. Предполагается, что абсолютная величина скорости кругового движения внутренней массы постоянна. Корпус движется поступательно и прямолинейно по плоской горизонтальной поверхности, со стороны которой на него действуют силы вязкого и сухого кулонова трения. Движение внутренней массы происходит в вертикальной плоскости. Выполнено полное качественное исследование динамики системы. Показано, что всегда существует единственный режим движения корпуса с периодически меняющейся скоростью. Изучены все возможные типы указанного периодического движения. Установлено, что при любой начальной скорости корпус в зависимости от значений параметров задачи либо выйдет на периодический режим движения за конечное время, либо будет асимптотически к нему приближаться.

С помощью модифицированного метода пробных функций получены достаточные условия отсутствия нетривиальных решений ряда классов полулинейных эллиптических неравенств высокого порядка и квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих неоднородные слагаемые (не зависящие от искомой функции).

В настоящей работе мы, используя современное доказательство формулы Сфорца объема произвольного неевклидова тетраэдра, предложенное Н.В. Абросимовым и А.Д. Медных, выведем новые формулы, выражающие объемы гиперболических тетраэдров специального вида (ортосхемы и тетраэдры с группой симметрии S 4) через двугранные углы.

Данная статья посвящена изучению качественных свойств решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Ранее были получены результаты о существовании обобщенных решений рассматриваемых задач и доказано, что гладкость этих решений сохраняется в некоторых подобластях, но может нарушаться на их границах даже для бесконечно гладкой функции правой части. Для случая дифференциальноразностных уравнений, рассматриваемых на отрезке, с непрерывными правыми частями и краевыми условиями первого, второго и третьего рода автором были получены условия на коэффициенты разностных операторов, при выполнении которых существует классическое решение задачи, совпадающее с обобщенным. Кроме того, для задачи Дирихле для сильно эллиптического дифференциальноразностного уравнения получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости обобщенного решения в пространствах Гельдера на границе соседних подобластей. Гладкость решений внутри некоторых подобластей за исключением ε -окрестностей угловых точек была также доказана ранее. Однако проблема гладкости обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений оставалась неисследованной. В данной работе для того, чтобы повысить в шкале пространств Соболева гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения внутри подобластей, применен подход, использующий метод аппроксимации оператора дифференцирования конечноразностными операторами и доказана соответствующая теорема.

В статье рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары с нелинейностью высокого порядка. Получен результат о существовании и единственности глобального решения. Также в случае наличия в уравнении абсорбирующего слагаемого, исчезающего на бесконечности, устанавливается затухание решения при больших временах.