开放存取
##reader.subscriptionAccessGranted##
订阅存取
卷 214, 编号 7 (2023)
Geodesic flow on an intersection of several confocal quadrics in $\mathbb{R}^n$
摘要
Согласно теореме Якоби–Шаля для любой геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве найдутся помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, которых одновременно касаются все касательные прямые, проведенные к этой геодезической. В работе показано, что если рассмотреть геодезический поток на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик, результат останется верным. Как и в случае теоремы Якоби–Шаля, этот факт обеспечивает интегрируемость соответствующего геодезического потока. Для каждого компактного пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик был определен его класс гомеоморфности. Как оказалось, любое такое пересечение гомеоморфно прямому произведению нескольких сфер. Также в работе описано достаточное условие на потенциал, добавление которого сохранит интегрируемость соответствующей динамической системы на пересечении произвольного числа софокусных квадрик.Библиография: 16 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):3-26
3-26
Karatsuba's divisor problem and related questions
摘要
Доказано, что$$\sum_{p \leq x} \frac{1}{\tau(p-1)} \asymp \frac{x}{(\log x)^{3/2}}, \qquad\sum_{n \leq x} \frac{1}{\tau(n^2+1)} \asymp \frac{x}{(\log x)^{1/2}},$$где $\tau(n)=\sum_{d\mid n}1$ – количество делителей числа $n$, а суммирование в первой сумме ведется по простым числам.Библиография: 14 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):27-41
27-41
Values of the $\mathfrak{sl}_2$ weight system on the chord diagrams whose intersection graphs are complete graphs.
摘要
Весовой системой называют функцию на хордовых диаграммах, удовлетворяющую 4-членному соотношению Васильева. По алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$ можно построить простейшую нетривиальную весовую систему. Полученная $\mathfrak{sl}_2$-весовая система принимает значения в пространстве многочленов от одной переменной и полностью определяется рекуррентными соотношениями Чмутова–Варченко. Хотя определение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы довольно просто, ее вычисления очень трудоемки, поэтому конкретные значения известны лишь для небольшого числа хордовых диаграмм. Для явного вида значений на хордовых диаграммах с полным графом пересечений С. К. Ландо выдвинул гипотезу, которую поначалу удалось доказать лишь для коэффициентов при линейных членах значений весовой системы. Мы полностью доказываем эту гипотезу, пользуясь рекуррентными соотношениями Чмутова–Варченко и введенными нами линейными операторами добавления хорды к доле – подмножеству хорд диаграммы с концами на двух выделенных дугах. Также, опираясь на производящую функцию значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений, мы доказываем изоморфность факторпространства долей по модулю рекуррентных соотношений пространству многочленов от двух переменных. Библиография: 10 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):42-59
42-59
Metric description of flexible octahedra
摘要
Найдено новое описание изгибаемых октаэдров Брикара с использованием условий в терминах длин ребер, пригодное для исследования ряда задач метрической геометрии октаэдров, в частности, для поиска доказательства гипотезы И. Х. Сабитова о равенстве нулю всех (кроме старшего) коэффициентов многочлена для объема октаэдра 3-го типа.Библиография: 17 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):60-90
60-90
Spectral gaps in a thin-walled rectangular infinite box with a periodic family of cross-walls
摘要
Рассматривается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа в бесконечном тонкостенном прямоугольном коробе с периодическим семейством перегородок, толщина которых пропорциональна толщине стенок. При помощи асимптотического анализа доказано раскрытие лакун в спектре при “тонких” или “достаточно толстых” перегородках, для которых относительная толщина ограничена сверху или снизу некоторыми характеристиками модельных задач Дирихле в $\mathsf L$- и $\mathsf T$-образных областях на плоскости и объединении взаимно перпендикулярных двух половин и одной четверти пространственных слоев. Сформулированы многочисленные открытые вопросы, в частности, из-за отсутствия информации о пороговых резонансах в трехмерной модельной задаче осталась неизученной структура спектра в случае перегородок всех промежуточных толщин. Библиография: 35 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):91-133
91-133
Logarithmic character of large time asymptotics for solutions of Sobolev type nonlinear equations with cubic nonlinearity
摘要
Рассмотрена задача Коши для нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью$$\begin{cases}i \partial_{t}(u-\partial_{x}^{2}u)+\partial_{x}^{2}u-a \partial_{x}^{4}u=u^{3},& t>0, x\in\mathbb{R},u(0,x) =u_{0}(x),& x\in\mathbb{R},\end{cases}$$где $a>1/5$, $a\neq1$. Доказано, что асимптотика решения обладает дополнительным логарифмическим убыванием по сравнению с соответствующим линейным случаем. Для нахождения асимптотики решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева развивается техника факторизации. Также для получения оценок производных операторов дефекта применяются $\mathbf{L}^{2}$-оценки псевдодифференциальных операторов.Библиография: 20 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(7):134-160
134-160