Том 23, № 1 (2019)
- Год: 2019
- Статей: 11
- URL: https://journal-vniispk.ru/1991-8615/issue/view/1969
Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в полуполосе
Аннотация
Изучена первая граничная задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в полуполосе в классе регулярных и ограниченных в бесконечности решений. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности поставленной задачи. Решение задачи построено в виде ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда возникла проблема малых знаменателей, в связи с чем в работе доказана оценка об отделенности от нуля малого знаменателя с соответствующей асимптотикой. Эта оценка при некоторых достаточных условиях на граничную функцию позволила доказать сходимость построенного ряда в классе регулярных решений данного уравнения. В отличие от других работ схожей тематики, критерий единственности и существование решения поставленной задачи удалось доказать при всех положительных значениях входящих в уравнение параметров, не обязательно равных. Важным следствием полученного результата является такой факт, что построенное решение всюду в рассматриваемой области является решением уравнения, поэтому линия изменения типа уравнения как особая устраняется.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):7-19
7-19
Краевая задача для смешанно-составного уравнения с дробной производной, функциональным запаздыванием и опережением
Аннотация
Исследуется краевая задача Трикоми для функционально-дифференциального смешанно-составного уравнения $LQu(x,y)=0$ в классе дважды непрерывно дифференцируемых решений. Здесь $L$ — дифференциально-разностный оператор смешанного «параболо»-эллиптического типа с дробной производной Римана–Лиувилля и линейным сдвигом по $y$. Оператор $Q$ содержит кратные функциональные запаздывания и опережения $a_1(x)$ и $a_2(x)$ по переменной $x$. Функциональные сдвиги $a_1(x)$ и $a_2(x)$ — сохраняющие ориентацию взаимно-обратные диффеоморфизмы. Область интегрирования $D=D^+\cup D^-\cup I$. Область «параболичности» $D^+$ — множество $x_00$. Область эллиптичности $D^-=D_0^-\cup D_1^-\cup D_2^-$, причем $D_k^-$ — множество $x_k
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):20-36
20-36
О динамике вихревой нити. Новый взгляд на проблему энергии и эффективной массы
Аннотация
Рассматривается динамика бесконечной вихревой нити «нулевой толщины» в приближении локальной индукции. Асимптотически нить считается прямолинейной, причем предполагается существование в окружающем пространстве $E_3$ выделенного направления, задаваемого некоторым вектором ${\boldsymbol{b}}_3$, который и определяет асимптотики нити.
Исследуется возможность интерпретации такого объекта как модели планарной «квазичастицы»с конфигурационным пространством (коллективных координат) в виде плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$ и внутренними степенями свободы.
Построено гамильтоново описание динамики такой нити в терминах переменных, допускающих естественное разделение на две группы: «внешние» и «внутренние».
Внешние гамильтоновы переменные (имеющие смысл координат и импульсов бесструктурной планарной частицы) и внутренние (соответствующие переменным модели магнетика Гейзенберга) перепутаны связями, что приводит к нетривиальности конструкции. Группа пространственной симметрии системы строится в два этапа: сжатие $ SO(3) \to E(2)$ и последующее расширение $E(2) \times T \to \tilde{\mathcal G}_2$. Здесь $E(2)$ — группа движений плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$, $T$ — группа временн\'{ы}х сдвигов и $\tilde{\mathcal G}_2$ — центрально расширенная группа Галилея, действующая на указанной плоскости.
Введение в модель группы Галилея позволяет ввести в рассмотрение инвариантные функции Казимира алгебры Ли данной группы и, как следствие, сформулировать новый подход к проблеме энергии бесконечной вихревой нити нулевой толщины. Получено также выражение для тензора обратной эффективной массы построенной динамической системы. Показано, что предложенную теорию можно рассматривать как математическую модель планарной вихревой частицы, обладающей бесконечным числом внутренних степеней свободы.
Исследуется возможность интерпретации такого объекта как модели планарной «квазичастицы»с конфигурационным пространством (коллективных координат) в виде плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$ и внутренними степенями свободы.
Построено гамильтоново описание динамики такой нити в терминах переменных, допускающих естественное разделение на две группы: «внешние» и «внутренние».
Внешние гамильтоновы переменные (имеющие смысл координат и импульсов бесструктурной планарной частицы) и внутренние (соответствующие переменным модели магнетика Гейзенберга) перепутаны связями, что приводит к нетривиальности конструкции. Группа пространственной симметрии системы строится в два этапа: сжатие $ SO(3) \to E(2)$ и последующее расширение $E(2) \times T \to \tilde{\mathcal G}_2$. Здесь $E(2)$ — группа движений плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$, $T$ — группа временн\'{ы}х сдвигов и $\tilde{\mathcal G}_2$ — центрально расширенная группа Галилея, действующая на указанной плоскости.
Введение в модель группы Галилея позволяет ввести в рассмотрение инвариантные функции Казимира алгебры Ли данной группы и, как следствие, сформулировать новый подход к проблеме энергии бесконечной вихревой нити нулевой толщины. Получено также выражение для тензора обратной эффективной массы построенной динамической системы. Показано, что предложенную теорию можно рассматривать как математическую модель планарной вихревой частицы, обладающей бесконечным числом внутренних степеней свободы.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):37-48
37-48
Аналитико-экспериментальное определение удельного сопротивления прониканию, описание лицевого и тыльного ослабляющего эффекта
Аннотация
В рамках статических испытаний оценивается основной силовой параметр процесса проникания — удельное сопротивление прониканию. Принято считать, что в случае статического проникания данный параметр является постоянной величиной, однако существуют экспериментальные и теоретические свидетельства об изменении удельного сопротивления прониканию с глубиной. Этот фактор — краевой эффект свободных поверхностей — необходимо учитывать при проведении экспериментов, а также в инженерных расчетах, поэтому вопрос влияния краевых эффектов свободных поверхностей на параметры проникания является актуальным.
Предлагается уточненное соотношение для определения удельного сопротивления прониканию остроконечных инденторов в преграду средней толщины при условии вязкого образования кратера с учетом ослабляющего влияния свободных поверхностей пластины. Приводятся основные соотношения, описывающие процесс индентирования, излагается методика обработки экспериментальных данных.
Для испытаний были изготовлены образцы различной толщины и три цилиндрических индентора диаметром 7 мм с конической головной частью высотой 3.2 мм, 5.6 мм и 8.4 мм. В качестве материалов образца использовались технический пластилин, сплав Вуда и свинец, испытания проводились на машине Zwick/Roell Z-250. На основе результатов эксперимента определены ключевые параметры новых соотношений — удельное сопротивление прониканию глубинных слоев пластины, коэффициент трения, параметры краевых эффектов свободных поверхностей.
Анализ результатов исследований позволил получить в общем виде аппроксимирующее соотношение для оценки силы сопротивления внедрению индентора в преграду в зависимости от ряда параметров — глубинного удельного сопротивления и коэффициента трения материала образца, геометрических параметров индентора и пластины. Для технического пластилина ошибка аппроксимации не превосходит 25 %, для сплава Вуда — 16 %, для свинцового сплава — 25 %. Отметим, что предельная ошибка аппроксимации указана здесь для «острого» (высота конуса 8.4 мм) и «среднего» (высота 5.6 мм) инденторов, поскольку на основании изложенного в статье аналитико-экспериментального исследования выявлено, что для инденторов с более «тупым» носком необходимо применять модели, основанные на отличных от механизма вязкого образования кратера условиях (например, образование и сдвиг пробки).
Полученные результаты предлагается использовать в приближенных моделях проникания при оценке силы сопротивления прониканию остроконечных бойков в преграды средней толщины.
Предлагается уточненное соотношение для определения удельного сопротивления прониканию остроконечных инденторов в преграду средней толщины при условии вязкого образования кратера с учетом ослабляющего влияния свободных поверхностей пластины. Приводятся основные соотношения, описывающие процесс индентирования, излагается методика обработки экспериментальных данных.
Для испытаний были изготовлены образцы различной толщины и три цилиндрических индентора диаметром 7 мм с конической головной частью высотой 3.2 мм, 5.6 мм и 8.4 мм. В качестве материалов образца использовались технический пластилин, сплав Вуда и свинец, испытания проводились на машине Zwick/Roell Z-250. На основе результатов эксперимента определены ключевые параметры новых соотношений — удельное сопротивление прониканию глубинных слоев пластины, коэффициент трения, параметры краевых эффектов свободных поверхностей.
Анализ результатов исследований позволил получить в общем виде аппроксимирующее соотношение для оценки силы сопротивления внедрению индентора в преграду в зависимости от ряда параметров — глубинного удельного сопротивления и коэффициента трения материала образца, геометрических параметров индентора и пластины. Для технического пластилина ошибка аппроксимации не превосходит 25 %, для сплава Вуда — 16 %, для свинцового сплава — 25 %. Отметим, что предельная ошибка аппроксимации указана здесь для «острого» (высота конуса 8.4 мм) и «среднего» (высота 5.6 мм) инденторов, поскольку на основании изложенного в статье аналитико-экспериментального исследования выявлено, что для инденторов с более «тупым» носком необходимо применять модели, основанные на отличных от механизма вязкого образования кратера условиях (например, образование и сдвиг пробки).
Полученные результаты предлагается использовать в приближенных моделях проникания при оценке силы сопротивления прониканию остроконечных бойков в преграды средней толщины.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):49-68
49-68
Моделирование ползучести металлов при нестационарном сложном напряженном состоянии
Аннотация
Рассмотрено моделирование результатов испытаний металлов в условиях ползучести при нестационарном сложном напряженном состоянии. В качестве примера рассмотрены экспериментальные данные, полученные группой японских ученых при испытаниях трубчатых образцов из нержавеющей стали при температуре $650 ^{\circ}$С. В приведенной статье представлены результаты испытаний при четырех различных программах нагружения. Эти программы нагружения представляют собой различные комбинации кусочно-постоянных зависимостей касательного и нормального напряжений от времени. Проведено моделирование представленных данных с помощью теории упрочнения и теории течения, две используемые материальные константы определяются из условия минимального относительного интегрального расхождения экспериментальных и теоретических кривых ползучести. Проведено сопоставление результатов моделирования с результатами моделирования этих тех же экспериментальных данных, полученных другими исследователями с использованием других теорий. В этих других теориях использовано большое количество характеристик материала: от трех до девяти констант и дополнительно — одной материальной функции. Показано преимущество рассмотренных авторами данной статьи теории упрочнения и теории течения всего с двумя материальными константами в каждой по сравнению с другими использованными теориями.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):69-89
69-89
Моделирование упругопластического поведения гибких пространственно-армированных пластин в рамках уточненной теории изгиба
Аннотация
На базе алгоритма шагов по времени построена структурная модель упругопластического деформирования изгибаемых пластин с пространственными структурами армирования. Неупругое поведение материалов фаз композиции описывается определяющими уравнениями теории пластического течения с изотропным упрочнением. Возможное ослабленное сопротивление армированных пластин поперечному сдвигу учитывается на основе уточненной теории, из которой в первом приближении получаются соотношения теории Редди. Геометрическая нелинейность задачи рассматривается в приближении Кармана. Решение сформулированных начально-краевых задач строится по явной численной схеме типа «крест». Исследовано динамическое неупругое деформирование пространственно- и плоско-перекрестно армированных металлокомпозитных и стеклопластиковых гибких пластин разной относительной толщины под действием нагрузки, вызванной воздушной взрывной волной. Продемонстрировано, что для относительно толстых стеклопластиковых пластин замена плоско-перекрестной структуры армирования на пространственную структуру с сохранением общего расхода волокон приводит к уменьшению податливости конструкции в поперечном направлении почти в 1.5 раза, а также к уменьшению максимума интенсивности деформаций в связующем материале в два раза. Для относительно тонких как стеклопластиковых, так и металлокомпозитных пластин замена плоско-перекрестной структуры 2D-армирования на пространственные структуры 3D- и 4D-армирования не приводит к заметному уменьшению их прогибов, но позволяет уменьшить интенсивность деформаций в связующем на 10 % и более. Показано, что широко используемая неклассическая теория Редди не позволяет получать надежные результаты расчетов упругопластического динамического поведения изгибаемых пластин как с плоскими, так и пространственными структурами армирования даже при малой относительной толщине конструкций и слабой анизотропии композиции.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):90-112
90-112
Двойственный алгоритм на основе активного множества для построения оптимальной разреженной выпуклой регрессии
Аннотация
В последнее время задачи статистики с ограничениями на форму данных привлекают повышенное внимание. Одной из таких задач является задача поиска оптимальной монотонной регрессии. Проблема построения монотонной регрессии (которая также называется изотонной регрессией) состоит в том, чтобы для данного вектора (не обязательно монотонного) найти неубывающий вектор с наименьшей ошибкой приближения к данному. Выпуклая регрессия есть развитие понятия монотонной регрессии для случая $2$-монотонности (т.е. выпуклости). Как изотонная, так и выпуклая регрессия находят применение во многих областях, включая непараметрическую математическую статистику и сглаживание эмпирических данных. В данной статье предлагается итерационный алгоритм построения разреженной выпуклой регрессии, т.е. для нахождения выпуклого вектора $z\in \mathbb{R}^n$ с наименьшей квадратичной ошибкой приближения к данному вектору $y\in \mathbb{R}^n$ (не обязательно являющемуся выпуклым). Задача может быть представлена в виде задачи выпуклого программирования с линейными ограничениями. Используя условия оптимальности Каруша–Куна–Таккера, доказано, что оптимальные точки должны лежать на кусочно-линейной функции. Доказано, что предложенный двойственный алгоритм на основе активного множества для построения оптимальной разреженной выпуклой регрессии имеет полиномиальную сложность и позволяет найти оптимальное решение (для которого выполнены условия Каруша–Куна–Таккера).
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):113-130
113-130
Опухолевый рост и возможности математического моделирования системных процессов
Аннотация
В работе обсуждаются вопросы применения математического моделирования к исследованию процесса опухолевого роста и проблеме оптимизации лечения онкологических заболеваний. Приводится структурированный обзор работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных этой проблематике. Обсуждается важность представлений о жизненном цикле клетки в понимании опухолевого процесса и механизмов лечения онкологических заболеваний, связанная прежде всего с тем, что применяемые методы лечения, в частности, химиотерапия и лучевая терапия, действуют как на нормальные, так и на опухолевые клетки, находящиеся в определенных стадиях жизненного цикла, и не поражают клетки в других стадиях. Приводится описание жизненного цикла клетки и механизмов, в норме обеспечивающих сохранение и восстановление нормальной плотности клеточной популяции, приводится граф стадий и переходов клетки. Предлагается математическая модель поддержания пролиферативного гомеостаза в клеточной популяции, которая учитывает гетерогенность клеточных популяций по стадиям жизненного цикла. Модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Условия стационарности позволяют определить значения параметров модели, присущих нормальной жизнедеятельности клеточной популяции. В работе приводятся результаты вычислительного эксперимента, в котором исследуется процесс восстановления плотности клеточной популяции в случае массовой гибели клеток. Как показывает эксперимент, после гибели клеток происходит восстановление плотности клеток в разных стадиях до нормальных значений, что соответствует представлениям о пролиферативном гомеостазе в клеточных популяциях.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):131-151
131-151
Сравнение различных математических моделей на примере решения уравнений движения больших планет и Луны
Аннотация
Проведено исследование точности решения различных дифференциальных уравнений, описывающих движение больших планет, Луны и Солнца. На интервале времени с 31 года до нашей эры по 3969 год нашей эры проведено численное интегрирование ньютоновых, релятивистских дифференциальных уравнений и уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами. Выявлена область применимости рассмотренных дифференциальных уравнений для исследуемых объектов. Путем сравнения координат Луны, найденных с помощью решения различных дифференциальных уравнений и банка данных DE405, показано, что наибольшая точность в элементах орбит больших планет и Луны достигается путем решения дифференциальных уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами. Решение релятивистских уравнений обеспечивает высокую точность элементов орбит для Меркурия и внешних планет на всем интервале интегрирования. Однако для остальных внутренних планет и Луны точность элементов орбит, полученных с помощью решения релятивистских уравнений, сопоставима с точностью, полученной путем решения ньютоновых уравнений. Полагается, что использование гармонической системы координат является обоснованным лишь для Меркурия с точки зрения скорости векового смещения долготы его перигелия, однако для других внутренних планет (Венеры, Земли+Луны и Марса) скорости вековых смещений долгот перигелиев оказываются завышенными. Показано, что решение дифференциальных уравнений, полученных на основе взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами, обеспечивает более высокую точность по сравнению с решениями ньютоновых и релятивистских уравнений получения элементов орбит для всех рассматриваемых объектов на исследуемом интервале времени.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):152-185
152-185
Задача типа Гурса для гиперболического уравнения и для одной системы гиперболических уравнений третьего порядка
Аннотация
Исследована корректность по Адамару постановки задачитипа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Приведен пример, иллюстрирующийнекорректность классической постановки задачи Гурса длягиперболического уравнения третьего порядка. В явном виде полученорегулярное решение задачи типа Гурса для гиперболическогоуравнения третьего порядка с некратными характеристиками.
Исследована корректность по Адамару постановки задачи типа Гурса для одной системыдифференциальных гиперболических уравнений третьего порядка.Регулярное решение задачи типа Гурса для системы гиперболическихуравнений третьего порядка получено в явном виде.
В результатеисследований сформулированы теоремы о корректности по Адамарупостановки задачи типа Гурса для гиперболического уравнения и дляодной системы гиперболических уравнений третьего порядка.
Исследована корректность по Адамару постановки задачи типа Гурса для одной системыдифференциальных гиперболических уравнений третьего порядка.Регулярное решение задачи типа Гурса для системы гиперболическихуравнений третьего порядка получено в явном виде.
В результатеисследований сформулированы теоремы о корректности по Адамарупостановки задачи типа Гурса для гиперболического уравнения и дляодной системы гиперболических уравнений третьего порядка.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):186-194
186-194
Получение точного аналитического решения стационарной двумерной задачи теплопроводности с источником теплоты
Аннотация
На основе ортогонального метода Бубнова–Галеркина с использованием тригонометрических систем координатных функций получено точное аналитическое решение стационарной двумерной задачи теплопроводности для бесконечно-протяженного бруса квадратного сечения с источником теплоты. Благодаря свойству ортогональности тригонометрических координатных функций получаемая в методе Бубнова–Галеркина бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений разделяется и приводится к решению одного обобщенного уравнения, что позволяет получить точное аналитическое решение простого вида в виде бесконечного ряда. В силу симметричности задачи рассматривается лишь четверть поперечного сечения бруса при задании по линиям разреза граничных условий адиабатной стенки (отсутствия теплообмена), что позволяет (в отличие от известного классического точного аналитического решения) значительно упростить как процесс получения решения, так и окончательное выражение для него.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2019;23(1):195-203
195-203