Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 214, No 10 (2023)
Abnormal extremals in the sub-Riemannian problem for a general model of a robot with a trailer
Abstract
Рассматривается симметричная математическая модель колесного робота с прицепом с различными видами сцепки робота и прицепа. Исследуется соответствующая субриманова задача в анормальном случае принципа максимума Понтрягина. Доказано, что при фиксированных параметрах сцепки и начальном положении робота с прицепом существуют две симметричные анормальные экстремали. При движении вдоль этих траекторий робот и прицеп следуют вдоль нормальных экстремальных траекторий для субримановой задачи на группе движений плоскости, при этом точка сцепки всегда описывает инфлексионную эластику либо прямую.Библиография: 33 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):3-24
3-24
On a weak topology for Hadamard spaces
Abstract
We investigate whether existing notions of weak sequential convergence in Hadamard spaces can be induced by a topology. We provide an affirmative answer on what we call weakly proper Hadamard spaces. Several results from classical functional analysis are extended to the setting of Hadamard spaces. A notion of dual space is proposed and it is shown that our weak topology and dual space coincide with the standard ones in the case of a Hilbert space. We introduce the space of geodesic segments together with a corresponding weak topology, and we show that this space is homeomorphic to its underlying Hadamard space. As an application we show the existence of a geodesic segment that acts as the direction of steepest descent for a geodesically differentiable function satisfying certain properties. Finally we compare our topology with other existing notions of weak topologies.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):25-43
25-43
Complete bipartite graphs flexible in the plane
Abstract
Полный двудольный граф $K_{3,3}$, рассматриваемый как шарнирная конструкция в плоскости с шарнирами в вершинах и стержнями постоянной длины в качестве ребер, в общем случае допускает лишь движения как жесткого целого, т.е. является неизгибаемым. Два экзотических типа его изгибаемости были найдены в 1899 г. Диксоном. С тех пор в ряде работ различных авторов вопрос об изгибаемости в плоскости полных двудольных графов $K_{m,n}$ был решен почти для всех пар $(m,n)$. В настоящей работе этот вопрос решен для всех полных двудольных графов как в евклидовой плоскости, так и на плоскости Лобачевского, и на сфере. Даны полные и независимые от предыдущих работ доказательства без сложных компьютерных вычислений, схожие во всех трех случаях: евклидовом, гиперболическом и сферическом.Библиография: 11 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):44-70
44-70
On the eigenfunctions of the essential spectrum of the model problem for the Schrödinger operator with singular potential
Abstract
В работе изучаются обобщенные собственные функции непрерывного (существенного) спектра для операторе Шрёдингера с сингулярным $\delta$-потенциалом, имеющим носитель на сторонах угла на плоскости. Задача для такого оператора возникает в квантовомеханических моделях о разрушении состояний двух квантовых частиц, связанных точечным взаимодействием, при отражении одной из них потенциальным барьером. В работе предложен подход, который позволяет строить интегральные представления для собственных функций в терминах решения функционально-разностного уравнения со спектральным параметром. Решения такого уравнения изучаются посредством редукции к интегральному и исследования спектральных свойств соответствующего интегрального оператора. Построена асимптотика собственной функции на больших расстояниях и ей придан физический смысл с точки зрения волнового рассеяния. Предложенный подход может быть применен для изучения собственных функций в широком круге родственных задач для оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом. Библиография: 17 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):71-97
71-97
Generic extensions of ergodic systems
Abstract
Статья посвящена задачам о типичных свойствах расширений динамических систем с инвариантной мерой. Доказано, что типичные расширения сохраняют сингулярность спектра, свойство перемешивания и некоторые другие асимптотические свойства. Обнаружено, что сохранение алгебраических свойств, вообще говоря, зависит от статистических свойств базы. Установлено, что $P$-энтропия типичного расширения принимает бесконечное значение. Это дает новое доказательство результата Вейса, Глазнера, Остина, Тувено о недоминантности детерминированных действий. Рассмотрены типичные измеримые семейства автоморфизмов вероятностного пространства. В асимптотическом поведении представителей типичного семейства показан их динамический конформизм вместе с динамическим индивидуализмом.Библиография: 15 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):98-115
98-115
Efficient computations with counting functions on free groups and free monoids
Abstract
В работе строятся эффективные алгоритмы для проверки, находятся ли две данные считающие функции на неабелевых свободных группах (или моноидах) на ограниченном расстоянии друг от друга, и для проверки, являются ли два данных считающих квазиморфизма на свободных неабелевых группах когомологичными. В качестве модели вычисления нами рассматривается многоленточная машина Тьюринга, для которой арифметические операции не считаются выполнимыми за постоянное время. В случае целочисленных коэффициентов мы строим линейный по времени алгоритм (предполагая, что в случае свободного моноида его ранг не меньше $3$). Для случая рациональных коэффициентов мы доказываем, что временная сложность равна $O(N\log N)$, где $N$ – размер входа, т.е. совпадает со сложностью сложения рациональных чисел (реализованного с помощью алгоритма Харви–ван дер Хувена для умножения целых чисел). Построенные алгоритмы основаны на нашей предыдущей работе, которая дает описание пространства ограниченных считающих функций.Библиография: 20 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2023;214(10):116-162
116-162