Том 212 (2022)

Исследуется линейная задача оптимального управления гиперболической системой первого порядка, в которой граничное условие на одном из концов определяется из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием по состоянию. Задача сводится к задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный подход основан на использовании точной формулы приращения целевого функционала. Редуцированную задачу можно решать с помощью широкого арсенала эффективных методов, применяемых для задач оптимизации в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассматривается задача граничного управления для уравнения колебания струны с заданными начальными и конечными условиями, с заданными значениями функции прогиба и скоростей точек в разные промежуточные моменты времени. Управление осуществляется смещением на двух концах струны. Предложен конструктивный подход построения граничного управления колебаниями струны смещением на двух концах с заданными начальными, конечными условиями и с заданными значениями функции прогиба и скоростей точек в разные промежуточные моменты времени. Проведен вычислительный эксперимент с построением соответствующих графиков и их сравнительный анализ, которые подтверждают полученные результаты.

В работе показана возможность применения общей теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, разработанной С. А. Ломовым и его учениками, к построению асимптотики решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений со степенным пограничным слоем.

В работе рассматриваются задачи, в которых используются одновременно два типа управляющего воздействия: распределенное и стартовое. Основные результаты касаются разрешимости класса задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается уравнением в банаховом пространстве, разрешенным относительно дробной производной Герасимова—Капуто, нелинейным по младшим дробным производным. Рассматриваются выпуклые полунепрерывные снизу, коэрцитивные функционалы, компромиссные или не зависящие от управления. Абстрактные результаты продемонстрированы на примере задачи управления для дробной модели метастабильных состояний в полупроводниках.

Рассматривается выпуклая линейно-квадратичная задача в классе методов нелокального спуска. Проведено обоснование единственности решений фазовой и сопряженной систем на максимизирующем управлении. Доказаны утверждения о сходимости итерационных методов по функционалу.

В работе исследуется задача Коши для дифференциального уравнения с производными от функционалов в банаховых пространствах. Оператор при старшей производной имеет структуру проектора, т.е. его ядро бесконечномерно. Решение строится в пространстве обобщенных функций с ограниченным слева носителем в виде свертки фундаментального решения дифференциального оператора с правой частью уравнения, включающей в себя свободную функцию и начальные условия исходной задачи. Построение фундаментального решения осуществляется с помощью фундаментальной оператор-функции для специально выстроенного матричного дифференциального оператора с необратимой (вообще говоря) матрицей при производной, т.е. с оператором конечного индекса. Анализ построенного таким образом обобщенного решения позволяет получать достаточные условия разрешимости исходной задачи Коши в классах функций конечной гладкости, а также предложить конструктивные формулы для восстановления такого решения. Приведен иллюстрирующий пример.

Во многих задачах динамики возникают системы, пространствами положений которых являются четырехмерные многообразия. Фазовыми пространствами таких систем естественным образом становятся касательные расслоения к соответствующим многообразиям. Рассматриваемые динамические системы обладают переменной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. В работе показана интегрируемость более общих классов однородных динамических систем с переменной диссипацией на касательных расслоениях к четырехмерным многообразиям. Первая часть работы: Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия. I. Уравнения геодезических// Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обзоры. — 2022. — 210. — С. 77-95. Вторая часть работы: Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия. II. Потенциальные силовые поля// Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обзоры. — 2022. — 211. — С. 29-40.